Integrales Inmediatas (Parte 3) (Previsualizar)

Ejemplo 2: Evalúa \mathlarger{\int{\frac{1}{\sqrt{u^3}} \hspace{1mm} du}}

En problemas que se ven como este, pensar en una solución directa (como se hizo en el primer acercamiento del primer ejemplo) puede resultar complicado. Por eso, después de modificar un par de cosas utilizaré, las fórmulas.

Solución:
Antes de comenzar a resolver, puedo usar varias propiedades de exponentes para volver a escribir lo que está dentro de la integral de manera que pueda aplicar una de las fórmulas mencionadas. Para esto digo: \sqrt{u^3} = (u^3)^{1/2} (escribo la raíz como exponente), luego (u^3)^{1/2} = u^{3/2} (propiedad de exponenciación), finalmente \frac{1}{u^{3/2}} = u^{-3/2} (propiedad de exponenciación, la u sube al numerador con exponente negativo).

Haciendo esto, puedes aplicar la fórmula (F 1.1):

    \[\int{\frac{1}{\sqrt{u^3}} \hspace{1mm} du} = \int{u^{-3/2} \hspace{1mm} du = \frac{u^{(-3/2) +1}}{(-3/2)+1}} + C = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C\]

Recuerda que se ve mejor hacer que la respuesta se vea como la función que está dentro de la antiderivada por eso; el 1/2 sube al numerador como 2 y el u^{-1/2} baja al denominador con exponente positivo y cambiado a raíz cuadrada. Por eso la respuesta es:

    \[\int{\frac{1}{\sqrt{u^3}} \hspace{1mm} du} = \frac{-2}{\sqrt{u}} + C\]

No olvides la constante de integración, y observa que antiderivé con respecto a \textbf{u} por que el diferencial du me lo dijo!

Ejemplo 3: Integra \mathlarger{\int{(\frac{2t^3-7t^2}{t^2} + 25)} \hspace{1mm} dt}

Para poder resolver la integral lo ideal es separar la fracción en varias partes:

    \[\frac{2t^3-7t^2}{t^2} = \frac{2t^3}{t^2} - \frac{7t^2}{t^2} = 2t - 7\]

Mira que puedo sumar el 7 y el 25 antes de hacer la antiderivada:

    \[\int{(\frac{2t^3-7t^2}{t^2} + 25) \hspace{1mm} dt} = \int{(2t-7 + 25) \hspace{1mm} dt} = \int{(2t+18) \hspace{1mm} dt}\]

Puedo separar, usando la propiedad (P 1.1), esta antiderivada en varias partes:

    \[= \int{2t \hspace{1mm} dt} + \int{18 \hspace{1mm} dt}\]

Un dato interesante, para estas dos antiderivadas no es necesario escribir una constante de integración para cada una; puedes escribir una sola para todas las antiderivadas, ya te lo demostraré. Observa que ambas antiderivadas se pueden resolver de manera directa haciendo la pregunta: “¿Qué debo derivar para que me resulte lo que tengo dentro de la integral?” Si derivo t^2 + C_1 donde C_1 es una constante, obtengo 2t, si derivo 18t + C_2 donde C_2 es una constante obtengo 18. Por eso:

    \[\int{2t \hspace{1mm} dt} + \int{32 \hspace{1mm} dt} = t^2+C_1+32t+C_2\]

Con esto hecho, la respuesta debe ser:

    \[\int{(\frac{2t^3-7t^2}{t^2} + 25)} \hspace{1mm} dt = t^2 + 18t + C_1 + C_2\]

Pero como C_1 y C_2 son constantes, las puedo sumar para hacer una sola constante C.

Por eso la respuesta es:

    \[\int{(\frac{2t^3+7t^2}{t^2} + 25)} \hspace{1mm} dt = t^2 + 18t + C\]

Ya te demostré que puedes usar una sola constante de integración. Terminó el problema. No olvides: Nunca dejes la constante de integración, no olvides ver el diferencial antes de integrar.

Ejemplo 4: Calcula la antiderivada \mathlarger{\int{(\frac{a \hspace{1mm} y^{3/4}}{\sqrt{a^2+b^2}} - \frac{1}{ab^2}) \hspace{1mm} dy}} donde a y b son constantes.

a.) Recuerda que a y b son constantes, por eso las puedes sacar de la antiderivada (propiedad \textbf{P 1.2}). Aplica la fórmula (F 1.1).

    \[\int{\frac{a \hspace{1mm} y^{3/4}}{\sqrt{a^2+b^2}} \hspace{1mm} dy = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \hspace{1mm \int{y^{3/4} \hspace{1mm} dy} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \hspace{1mm} \frac{y^{(3/4) + 1}}{(3/4) + 1} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \hspace{1mm} \frac{y^{7/4}}{7/4} = \frac{4 \hspace{1mm} a \hspace{1mm} y^{7/4}}{7 \hspace{1mm} \sqrt{a^2+b^2}}}}\]

b.) Constantes fuera de la antiderivada y luego efectuó la operación.

    \[\int{\frac{1}{ab^2} \hspace{1mm} dy = \frac{1}{ab^2} \hspace{1mm} \int{dy} = \frac{1}{ab^2} \hspace{1mm} y} = \frac{y}{ab^2}\]

d.) Combinando todo y agregando la constante de integración:

    \[\int{(\frac{a \hspace{1mm} y^{3/4}}{\sqrt{a^2+b^2}} - \frac{1}{ab^2}) \hspace{1mm} dy} = \frac{4 \hspace{1mm} a \hspace{1mm} y^{7/4}}{7 \hspace{1mm} \sqrt{a^2+b^2}} - \frac{y}{ab^2} + C\]

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