Integrales Inmediatas (Parte 2) (Previsualizar)

Objetivo: Evalúa \mathlarger{\int{ \hspace{1mm} dx}}
Cuando ves solamente el diferencial se da por entendido que es “1 \hspace{1mm} dx

(P 1.1)

    \[\hspace{0.25cm} \int{[f(x) + g(x)] dx} = \int{f(x) \hspace{1mm} dx} + \int{g(x) \hspace{1mm} dx} = F(x) + G(x) + C\]

¿Qué derivo para obtener 1? Simple, x + C.
¿Cómo evalúo \mathlarger{\int{3 dx}}? Si derivo, 3x + C obtengo 3, listo. Y si evalúo \mathlarger{\int{\frac{4x^{3} }{5}}dx}? En este caso la respuesta es \mathlarger{\frac{x^{4}}{5} + C}.

En los últimos dos casos puedo escribir las antiderivadas así

    \[\int{3 dx} = 3 \int{dx}\]

    \[\int{\frac{4x^{3}}{5} dx} = \frac{1}{5} \int{4x^{3} \hspace{1mm} dx}\]

¡ Si saco alguna constante de la antiderivada el resultado es el mismo! (Siempre y cuando multiplique la constante de vuelta). Escribiré mi otra propiedad.
Si k es una constante y F(x) es la antiderivada de f(x),

(P 1.2)

    \[\int{ kf(x) dx} = k\int{f(x) \hspace{1mm} dx} = k F(x) + C\]

Las propiedades (P 1.1) y (P 1.2) muestran la linealidad de una antiderivada (Busca más información de esto en otros documentos).

Curiosidad: Te he dicho que las derivadas y las antiderivadas son operaciones inversas. Se que son inversas pero de alguna manera, muy en el fondo, son hermanas. Linealidad de una derivada

    \[\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] = \frac{d}{dx}(f(x)) + \frac{d}{dx}(g(x))\]

    \[\frac{d}{dx} [k f(x)] = k \frac{d}{dx}[f(x)]\]

Ejemplo 1: Calcula la antiderivada \mathlarger{\int{9 \hspace{1mm} x^8 \hspace{1mm} dx}}

a.) Primer acercamiento: En vez de aplicar la fórmula y memorizar todo, puedes piensa: ¿Qué puedo derivar para conseguir la función que está dentro de la integral? Digamos que la respuesta a la integral es f(x). La misma puede ser f(x) = x^9 +1 o incluso f(x) = x^9 + 4.5, por eso la respuesta mas general es: f(x) = x^9 + C.

b.) Segundo Acercamiento: Aplicando la fórmula (F 1.1), el procedimiento será el siguiente… Para este caso (y usando la propiedad (P 1.1) n = 8. Por eso:

    \[\mathlarger{\int{9 \hspace{1mm} x^8 \hspace{1mm} dx} = 9 \hspace{1mm} \int{ \hspace{1mm} x^8 \hspace{1mm} dx} = 9 \hspace{1mm} \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = x^9 + C}\]

¡Listo! Toma en cuenta que según el diferencial (dx) me dice que integre x, por eso lo hice. No olvides, nunca, la constante de integración.

Anteriormente también habíamos encontrado que

    \[\int{x^{n} dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]

para n \neq -1. ¿Qué sucede cuando n = -1? … Cuando estudiamos derivadas, encontramos que

    \[\frac{d}{dx} [ln(x)] = \frac{1}{x}\]

Si la derivada de ln(x) es 1/x entonces tiene sentido decir que

    \[\int{\frac{dx}{x}} = ln(x) + C\]

Mira que esta antiderivada representa el caso

    \[\int{x^{n} dx}\]

para cuando n=-1. Por eso

    \[(\textbf{F 2.9}) \hspace{0.5cm} \int{\frac{1}{x} \hspace{1mm} dx} = ln(x) + C\]

Nota:} Recuerda que el logaritmo natural ln(x) es un logaritmo de base e ( log_e (x) ) y estará definido para x>0.

    \[e = 2.7182818...\]

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