Integrales Inmediatas (Parte 1) (Previsualizar)

Si antiderivo x^{n} mi resultado será una fracción en donde el numerador será x^{n+1} y el denominador será n+1, con ese patrón reconocido puedo escribir una fórmula general para este caso.

    \[\int{x^{n} \hspace{1mm} dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]

Observa que también funciona para los últimos ejemplos!
CUIDADO: ¿Qué sucede si tengo esta integral?

    \[\int{\frac{dx}{x}} = \int{x^{-1} dx}\]

Aplicando la fórmula te encontrarás un inconveniente… ¿Cuál es?

Al aplicar la fórmula cuando n=-1 obtengo, \mathlarger{\frac{x^{0}}{0}}. Esto no puede ser… ¿Cuál es la integral entonces? ¡Esto lo veremos más adelante! Con eso, puedo decir que mi fórmula es

(F 1.1)

    \[\int{x^{n}  dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ; } n \neq -1\]

Recuerda que la constante C es para generalizar la antiderivada! A esta se le llama constante de integración. “ Integración ”? Eso también lo veremos después!

De cierta manera, la antiderivada y la derivada son hermanas, es posible que la antiderivada herede propiedades de la derivada.

Objetivo: Encuentra la antiderivada de 3x^{2}+2x. Usando los símbolos, evalúa \mathlarger{\int{(3x^{2}+2x) \hspace{1mm} dx}}

Recuerda hacerte la pregunta ¿Qué debo derivar para obtener 3x^{2} + 2x? Si derivo la expresión x^{3}+x^{2}+C obtengo 3x^{2} + 2x. Si ves es como si hubiese antiderivado 3x^{2} primero y luego 2x. Al tener ambas antiderivadas simplemente las sumo y obtengo mi respuesta.

Puedo decir entonces que la antiderivada de una suma es la suma de las antiderivadas de cada función. Tomaré dos funciones f(x), g(x), sus antiderivadas serán F(x) y G(x) respectivamente. Para mi ejemplo puedo escribir

    \[\int{(3x^{2}+2x) dx} = \int{3x^{2} \hspace{1mm} dx} + \int{2x \hspace{1mm} dx} = x^{3} + x^{2} + C\]

Después te demostraré que poner una sola constante de integración es suficiente. Con eso listo, puedo escribir mi propiedad
(P 1.1)

    \[\int{[f(x) + g(x)] dx} = \int{f(x) dx} + \int{g(x) \hspace{1mm} dx} = F(x) + G(x) + C\]

Nuestros amigos de Tutorez te dan un super descuento si necesitas que alguien personalmente te ayude!

Material de Apoyo

Volver a: Cálculo Integral > Introducción a la Integración
¿Qué quieres aprender?

buscar
Filter by Custom Post Type