Integrales Impropias – Introducción Teórica (Previsualizar)

Cuando intentamos explicar que era una integral hicimos varias suposiciones: la función dentro de la integral estaba definida en un intervalo FINITO [a,b], la función no tenía discontinuidades. Para entender que es una integral impropia usaremos nueva terminología. Debemos entender el significado de convergencia, divergencia e intervalo no acotado.

Para entender el significado de los términos mencionados primero debes saber que es una integral impropia. ¿Como identifico una integral impropia? Voy a referirme a la siguiente integral

    \[\int_{a}^{b} f(x) dx\]

Como dije, anteriormente nos referíamos a un intervalo [a,b] donde la función f(x) estaba definida, pero ahora, ¿que sucede si algún número del intervalo [a,b] esta fuera del dominio de f(x)? Este será el primer criterio a examinar. (1) ¿Está la función definida en el intervalo [a,b]?}

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Lo que puede suceder es que dentro del intervalo [a,b] encuentre una asíntota vertical u horizontal. Puede ser que la función crezca sin control en cierto punto del intervalo (esto puede incluir los extremos del intervalo). Para entender a que me refiero te mostraré un ejemplo.

Ejemplo Ilustrativo 1: Examina la integral \mathlarger{\int_{0}^{1} \frac{dx}{x}}

Primero miro que el dominio de la función dentro de la integral es \textit{todos los números reales excepto 0}. Su gráfica

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Como ves el eje y o x=0 es una asíntota de la función f(x), por eso la función aproxima a ser cero pero solo eso, lo aproxima nunca llega a tocar el eje y. Entre la gráfica de la función f(x) y la recta x=0 siempre existirá un espacio (por que la función no toca el eje y!!)

A simple vista pareciera que tenemos un área infinita, a simple vista (puede que no sea infinita) … después te daré una explicación más rigurosa para saber si realmente es un área infinita o no. Si ves, lo que sucede cuando la función aproxima x=0 la misma comienza a crecer muy rápido. El punto donde ocurre este crecimiento se le llama singularidad.

Otro caso a examinar puede ser \mathlarger{\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}} . Su gráfica

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¿Qué sucede si los límites de integración son infinitos? Eso es, ¿qué sucede si el intervalo no está acotado? Examinaremos integrales de la forma

    \[\int_{a}^{\infty} f(x) dx \hspace{2.5mm}, \int_{-\infty}^{b} f(x) dx \hspace{2.5mm}, \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx\]

esto es, el intervalo de integración no está acotado, es un intervalo infinito. Entonces el segundo criterio para llamar a un integral impropia será (2) ¿Es intervalo es infinito?

Ejemplo Ilustrativo 2: Examinar la integral \mathlarger{\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx}

Para comenzar, le echaré un vistazo a la gráfica de la función f(x) = e^{-x}

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Estoy analizando la función en el intervalo [0,\infty]. Primero debo ver, ¿qué sucede con la función cuando x \rightarrow \infty? Si x \rightarrow \infty entonces e^{-x} \rightarrow 0. La función aproxima a ser 0 cuando x se hace muy grande, pero la función nunca toma el valor de 0 en sí. Gráficamente, la función no toca al eje x ; se acerca mucho al eje pero no llega a tocarlo.
Puede ser que esta integral me represente un área infinita, o puede ser que representa un área finita, pero ¿como me doy cuenta? ¿qué método puedo utilizar para encontrar la respuesta que busco?

I.) Evaluando una integral impropia (Caso 1)

¿Como evalúo una integral que tenga una singularidad? Veré el caso donde f(x) tiene una singularidad en x=a
como se muestra. En vez de calcular el área bajo la gráfica de la función f(x) en el intervalo [a,b], calcularé el área bajo la gráfica en el intervalo [t,b]

 

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en otras palabras evaluaré

    \[\int_{t}^{b} f(x) dx\]

¿Cuál es la idea? Lo que haré es acercar t cada vez más al valor de a y ver que sucede con el valor de la integral. Si el valor de la integral se va acercando aun número en específico significa que la integral converge, de otra forma (no se acerca a nada) diverge. Si una integral converge significa que el área representada por dicha integral es finita.

En vez de evaluar la integral múltiples veces para ver si se acerca a algo, mejor utilizaré un límite. Si este límite existe entonces la integral es convergente. Si estoy acercando t a el valor a entonces

    \[\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{t \to a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) dx\]

Si f(x) tiene una singularidad en x=b entonces el límite será

    \[\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f(x) dx\]

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NOTA: ¿Logras ver por que cuando la singularidad está en x=a, t tiende a a por la derecha? (t \rightarrow a^{+})? Mira la primera gráfica de esta sección y verás que para acercar la recta x=t a la recta x=a debo ir moviéndola hacia la derecha. En el otro caso (t\rightarrow b^{-}) debo mover la recta hacía la izquierda. }

¿Qué sucede si la singularidad no está en los extremos del intervalo [a,b], si no en el intervalo (a,b) (sin incluir los extremos)? Digamos que está singularidad está en x=c, donde c es un número dentro del intervalo mencionado.

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En este caso tendré que separar la integral en dos partes

    \[\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx\]

Para estudiar el comportamiento de la función cerca de la singularidad usaré dos límites

    \[\lim_{t \rightarrow c^{-}} \int_{a}^{t} f(x) dx + \lim_{n \rightarrow c^{+}} \int_{n}^{b} f(x) dx\]

n es una variable similar a t. Uso n para no tener que repetir t.

II.) Evaluando una integral impropia (Caso 2)}

Veremos ahora el método para evaluar un integral con límites infinitos. Antes de evaluar estas integrales debes asegurarte que la función sea continua en el intervalo de integración.

Evaluaré integrales de la forma

    \[\int_{a}^{\infty} f(x) dx , \hspace{5mm} \int_{-\infty}^{b} f(x) dx , \hspace{5mm} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx\]

En casos como este, puede ser que la gráfica de la función f(x) esté tan cerca del eje x que el área entre el eje y la gráfica sea finita. ¿Cómo demostramos esto? Primero tomaré el caso en el que el intervalo de integración sea [a,\infty) (mira la gráfica).

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En vez de evaluar la integral en el intervalo [a,\infty) la evaluaré en un intervalo finito [a,N]

    \[\int_{a}^{N} f(x) dx\]

Lo que haré es ir haciendo N más y más grande y observar si se acerca a algún número en específico. Si se acerca a algún número en específico entonces la integral converge, de otra manera (no se acerca a ningún número) diverge. Para ver como se comporta la integral a medida N se hace más grande usaré un límite. Si este límite existe entonces la integral es convergente. Simbólicamente

    \[\int_{a}^{\infty} f(x) dx = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{a}^{N} f(x) dx\]

Si estas sobre un intervalo de integración (-\infty,b] entonces para evaluar la integral

    \[\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{-N}^{b} f(x) dx\]

Para un intervalo (-\infty,\infty) entonces,

    \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{-N}^{N} f(x) dx\]

RECUERDA:

Desde ahora, antes de evaluar una integral definida, revisarás si la función está bien definida en su intervalo de integración. Si evalúas sin fijarte en esto, obtendrás un resultado incorrecto.
Curiosidad: Las integrales que poseen un intervalo de integración infinito se les llama Integrales de Primera Especie. Las integrales que tengan alguna singularidad en su intervalo de integración son llamadas Integrales de Segunda Especie.

 

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