Integrales Impropias de Segunda Especie (Parte 4) (Previsualizar)

Nuestros últimos ejemplos de integrales impropias de segunda especie.

Ejemplo 4: Evalúa \mathlarger{\int_{0}^{1} \frac{dx}{1-x^{2}}}

Por fracciones parciales,

    \[\frac{1}{1-x^{2}} = \frac{1}{2(1-x)} + \frac{1}{2(1+x)}\]

Resolveré la antiderivada primero

    \[\int{\frac{dx}{1-x^{2}}} = \frac{1}{2} \int{\frac{dx}{1-x}} + \frac{1}{2} \int{\frac{dx}{1+x}} =- \frac{1}{2} ln|1-x| + \frac{1}{2} ln|1+x| + C\]

Evaluando la integral,

    \[\int_{0}^{1} \frac{dx}{1-x^{2}} = \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{dx}{1-x^{2}} = \lim_{t \rightarrow 1^{-}} [-\frac{1}{2} ln |1-t| + \frac{1}{2} ln|1+t| + \frac{1}{2} ln (1) - \frac{1}{2} ln (1) ]\]

    \[= + \infty\]

NOTA: Si evalúas la integral

    \[\int_{0}^{a} \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}\]

Te darás cuenta que para a>0 la integral será divergente (úsalo de ejercicio). ¿Aplica si a<0?

Ejemplo 5: Evalúa \mathlarger{\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}

Recuerda que

    \[\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}} = sen^{-1}(x) + K\]

Evaluando la integral,

    \[\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \lim_{t \rightarrow 1^{-}} [sen^{-1}(t) - sen^{-1}(0)] = \frac{\pi}{2}\]

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