Integrales Impropias de Segunda Especie (Parte 3) (Previsualizar)

Otros ejemplos de integrales impropias de tercera especie.

Ejemplo 2: Evalúa \mathlarger{\int_{0}^{c} \frac{dx}{x^{p}}}. Toma en cuenta que p>0 y constante.

La función, independiente del valor de p, tiene una singularidad en x=0. Usando un límite para acercarme a 0^{+}, evaluaré la integral.

    \[\int_{0}^{c} \frac{dx}{x^{p}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{c} \frac{dx}{x^{p}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{c} x^{-p} dx = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \Big|_{t}^{c}\]

    \[= \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \Big[\frac{c^{-p+1}}{-p+1} - \frac{t^{-p+1}}{-p+1}\Big] = \frac{c^{-p+1}}{-p+1} - \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t^{-p+1}}{-p+1}\]

Ahora todo dependerá del exponente de la t. Si el exponente -p+1 fuera positivo, entonces tendré un límite de la forma

    \[\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t^{-p+1}}{-p+1} = \frac{0}{-p+1} = 0\]

Entonces el valor de la integral sería

    \[\int_{0}^{c} \frac{dx}{x^{p}} = \frac{c^{-p+1}}{-p+1}\]

En otras palabras la integral será convergente si 0<p<1. Si la integral es p>1 entonces tendré un límite de la forma

    \[\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t^{-p+1}}{-p+1} = \frac{1}{0} = \infty\]

En otras palabras, la integral para p>1 es divergente. La observación que habíamos hecho anteriormente estaba correcta. Todo bien pero \textbf{¿Que sucede cuando p=1?}.

Ejemplo 3: Evalúa \mathlarger{\int_{0}^{c} \frac{dx}{x}}

Mira que esta integral corresponde al caso del ejemplo anterior para cuando p=1. Nuevamente, c es un número diferente de 0 y finito. Evaluando la integral

    \[\int_{0}^{c} \frac{dx}{x} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{c} \frac{dx}{x} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} ln|x| \Big|_{t}^{c} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} (ln|c| - ln|t|) = ln|c| - \lim_{t \rightarrow 0^{+}} ln|t|\]

    \[= ln|c| - \infty\]

¡Para p=1 la integral es divergente! Todo este procedimiento tiene su razón de ser, la veremos más adelante. Por ahora, hagamos más ejemplos.

 

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