Integrales Impropias de Segunda Especie (Parte 2) (Previsualizar)

Vamos con un par de ejemplos de las integrales impropias de segunda especie.

Ejemplo 1: Evalúa \mathlarger{\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}}

Esta función tiene una singularidad en x=0. Para poder evaluar la integral debo utilizar un límite. Diré

    \[\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}\]

Mira que

    \[\int_{t}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 - 2 \sqrt{t}\]

Tomando el limite,

    \[\lim_{t \rightarrow 0^{+}} [2-2\sqrt{t}] = 2\]

Por eso

    \[\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\]

Me refiero a la gráfica de abajo. El área sombreada mostrada tiene un área de 2. Es extraño dado que la gráfica no toca a la recta x=0 (o eje y), puedes pensar que desde el comienzo el espacio entre la gráfica y el eje y es muy pequeño haciendo posible un área finita.

impropia1
Antes del siguiente ejemplo, quiero que veas un patrón. Toma las integrales mencionadas como ejercicio.

Examina el valor de cada una de las siguientes integrales

    \[\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{1/3}} = \frac{3}{2}, \hspace{3.7mm} \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2/7}} = \frac{7}{5} \hspace{3.7mm} \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{3/5}} = \frac{5}{2}\]

Nombraré al exponente de las x. Digamos que el exponente es p. Para las integrales que acabo de evaluar p está en el intervalo 0<p<1. Pareciera que para cualquier p en ese intervalo la integral es convergente. Intentaré con p>1.

    \[\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2}} = \infty, \hspace{3.7mm} \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{3/2}} = \infty, \hspace{3.7mm} \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{5}} = \infty\]

Aparentemente, para p>1 la integral siempre es divergente. Te diré lo que pasa aquí. De hecho es cierto que la integral,

    \[\int_{0}^{c} \frac{dx}{x^{p}}\]

donde c es un número finito y diferente de cero, converge si 0<p<1 y diverge si p>1. Como ejercicio, haremos esta demostración.

 

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