Integrales Impropias de Segunda Especie (Parte 1) (Previsualizar)

He aquí algunos ejemplos, la mejor forma para visualizar bien las integrales impropias de segunda especie.

Ejemplo 1: Evalúa \mathlarger{\int_{0}^{2}[ln(x)+1]dx}

Mira que la función ln(x) no está definida en x=0. Tengo una integral impropia. Como ejercicio, te dejaré comprobar

    \[\int{(ln(x) + 1) dx} = x ln(x) + C\]

Evaluando la integral,

    \[\int_{0}^{2}[ln(x)+1]dx = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{2} [ln(x)+1] dx = 2 ln(2) - \lim_{t \rightarrow 0^{+} } t \hspace{1mm} ln t\]

Evaluando el límite

    \[\lim_{t \rightarrow 0^{+} } t \hspace{1mm} ln t = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{ln(t)}{\frac{1}{t}}\]

Encuentro la forma indeterminada \infty/\infty. Utilizo la Regla de L’Hôpital

    \[\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{ln(t)}{\frac{1}{t}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} (-x) = 0\]

Por eso,

    \[\int_{0}^{2}[ln(x)+1]dx = 2ln(2)\]

 

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