Integrales Impropias de Primera Especie (Parte 4) (Previsualizar)

He aquí algunos ejemplos, la mejor forma para visualizar bien las integrales impropias de segunda especie.

Ejemplo 1: Evalúa la integral \mathlarger{\int_{0}^{\infty} (2x-x^{2}) e^{-x} dx}

Encuentro la antiderivada de la función usando el método tabular o integración por partes,

tab4

    \[\int_{0}^{\infty} (2x-x^{2}) e^{-x} dx = -(2x-x^{2})e^{-x}-(2-2x)e^{-x}+2e^{-x} + C\]

Reduciendo términos semejantes…

    \[\int{(2x-x^{2}) e^{-x} dx} = x^{2}e^{-x} + C\]

Continuo con la integral definida,

    \[\int_{0}^{\infty} (2x-x^{2})e^{-x} dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n} (2x-x^{2}) e^{-x} dx = \lim_{n \rightarrow \infty} [n^{2}e^{-n} - 0 ] = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{e^{n}}\]

Este limite nos lleva a una forma indeterminada de \infty/\infty. Aplicaré la regla de L’Hôpital para encontrar el límite,

    \[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{e^{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{e^{n}}\]

Este limite vuelve a resultar en una forma indeterminada \infty/\infty, asi que continuo

    \[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{e^{n}}\]

Este límite es 0 (¿recuerdas por qué?). Por eso entonces…

    \[\int_{0}^{\infty} (2x-x^{2}) e^{-x} dx = 0\]

 

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