Integrales Impropias de Primera Especie (Parte 3) (Previsualizar)

Unos últimos ejemplos de las integrales impropias de primera especie.

Ejemplo 5: Determina si la integral \mathlarger{\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x ln(x)}} convergente.

La función es continua dentro del intervalo [2,\infty]. Antes de aplicar límite haré una sustitución. Diré u = ln(x) \rightarrow du = \frac{dx}{x}. Cuando x \rightarrow \infty entonces u \rightarrow \infty y cuando x=2 entonces u = ln(2).

    \[\int_{x=2}^{\infty} \frac{dx}{x ln(x)} = \int_{u = ln(2)}^{\infty} \frac{du}{u}\]

Aplicando límite

    \[\int_{u = ln(2)}^{\infty} \frac{du}{u} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{ln(2)}^{N} \frac{du}{u} = \lim_{N \rightarrow \infty} [ln|N| - ln|ln(2)|]\]

Mira que \mathlarger{\lim_{N \rightarrow \infty}} ln|N| = \infty. La integral es divergente.

 

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