Integrales Impropias de Primera Especie (Parte 2) (Previsualizar)

La integral será divergente si 0<p<1 y será convergente si p>1. ¿Qué sucede si p=1?

Ejemplo 3: Determina si la integral \mathlarger{\int_{c}^{\infty} \frac{dx}{x}} es convergente. Nuevamente, c \neq 0 y finito.

Mira que esto se refiere al ejemplo anterior cuando p = 1. Tomando el límite,

    \[\int_{c}^{\infty} \frac{dx}{x} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{c}^{N} \frac{dx}{x} = \lim_{N \rightarrow \infty} (ln|N| - ln|c|)\]

Cuando N \rightarrow \infty, ln|N| \rightarrow \infty. Con esto puedo decir que la integral es divergente para p=1.

Ejemplo 4: Evalúa la integral \mathlarger{\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+6x+10}}

Para encontrar la antiderivada de la función, escribiré el denominador x^{2}+6x+10 como (x+3)^{2}+1.

    \[\int{\frac{dx}{x^{2}+6x+10}} = \int{\frac{dx}{(x+3)^{2} + 1}} = tan^{-1}(x+3) + C\]

Aplico límite para evaluar la integral:

    \[\int{\frac{dx}{x^{2}+6x+10}} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{0}^{N} \frac{dx}{x^{2}+6x+10} = \lim_{N \rightarrow \infty} [tan^{-1} (N+3) - tan^{-1} (3)]\]

Si N \rightarrow \infty entonces tan^{-1}(N+3) \rightarrow \pi /2, por eso

    \[\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+6x+10} = \pi /2 - tan^{-1}(3)\]

La integral es convergente.

 

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