Integrales Impropias de Primera Especie (Parte 1) (Previsualizar)

Mejor veamos con ejemplos, las integrales impropias de primera especie.

Ejemplo 1: Determina si la integral \mathlarger{\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}}} es convergente.

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Antes de evaluar, reviso que la función no tenga ninguna discontinuidad en el intervalo de integración. Es una integral impropia debido a que uno de sus límites de integración es \infty. Para la evaluar la integral tomaré un límite:

    \[\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{1}^{N} \frac{dx}{x^{2}}\]

Continuo,

    \[= \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{-1}{x} \Big]_{1}^{N}\]

    \[=\lim_{N \rightarrow \infty} \Big[ \frac{-1}{N} + 1 \Big]\]

Cuando N \rightarrow \infty entonces \frac{-1}{N} \rightarrow 0. Por eso

    \[\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}} = 1\]

Por eso puedo decir que la integral es, convergente.

Ejemplo 2: Determina si la integral \mathlarger{\int_{c}^{\infty} \frac{dx}{x^{p}}} es convergente. Observación, p>0 y constante. Por conveniencia, c \neq 0 y finito.

Dado que c \neq 0 puedo decir que la función es continua dentro del intervalo de integración. Usaré un límite para evaluar la integral:

    \[\int_{c}^{\infty} \frac{dx}{x^{p}} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{c}^{N} \frac{dx}{x^{p}} = \lim_{N \rightarrow \infty} \Big[ \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \Big]_{c}^{N} = \lim_{N \rightarrow \infty} \Big[ \frac{N^{-p+1}}{-p+1} - \frac{c^{-p+1}}{-p+1} \Big]\]

Ahora, todo dependerá del exponente de la N. Si el exponente -p+1 > 0 entonces cuando N \rightarrow \infty, N^{-p+1} \rightarrow \infty lo que haría a la integral divergente. Si -p+1<0 entonces cuando N \rightarrow \infty , N^{-p+1} \rightarrow 0.

 

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