Integral Tangente a la n por Secante a la m (Parte 2) (Previsualizar)

Si n es positiva e impar

En el caso de que n sea positiva e impar, separaré un factor sec(x)tan(x), sustituiré las tangentes restantes por secantes usando la identidad. Usaré la sustitución u = sec(x) \rightarrow du = sec(x) tan(x) dx.

Ejemplo 2: Evalúa \mathlarger{\int{sec^{4}(t) tan^{3}(t) dt}}

Espera… esa es la misma integral del ejemplo anterior… No importa. El exponente de la tangente es positivo e impar así que puedo aplicar el método.

Separo un factor sec(t)tan(t)

    \[\int{sec^{3}(t)tan^{2}(t) [sec(t)tan(t) dt]}\]

Transformo las tangentes a secantes

    \[= \int{sec^{3}(t) (sec^{2}(t)-1) [sec(t)tan(t)dt] }\]

Hago la sustitución u = sec(t) \rightarrow du = sec(t)tan(t) dt

    \[= \int{u^{3}(u^{2}-1) du} = \int{u^{5} du} - \int{u^{3} du}\]

Integrando y volviendo a la variable t

    \[= \frac{u^{6}}{6} - \frac{u^{4}}{4} + C\]

    \[= \frac{sec^{6}(t)}{6} - \frac{sec^{4}(t)}{4} + C\]

Ninguna de las anteriores

¿Qué sucede si ninguno de los otros dos casos aplica? Esto puede pasar y no debes entrar en pánico. Lo que harás es transformar todo a términos de coseno y seno.

Ejemplo 3: Evalúa \mathlarger{\int{sec^{-2}(\theta)tan^{4}(\theta) d\theta}}

Primero revisa y te darás cuenta que esta integral no entra en ninguno de los dos casos. Lo mejor será transformar las tangentes y secantes a cosenos y senos.

    \[\int{\frac{tan^{4}(\theta) d\theta}{sec^{2}(\theta)}} = \int{\frac{sen^{4}(\theta)}{cos^{4}(\theta)} cos^{2}(\theta) d\theta}\]

    \[= \int{\frac{sen^{4}(\theta) d\theta}{cos^{2}(\theta)}} = \int{\frac{(sen^{2}(\theta))^{2} d\theta}{cos^{2}(\theta)}}\]

Transformo el seno a coseno usando la identidad conocida

    \[=\int{\frac{(1-cos^{2}(\theta))^{2}d\theta}{cos^{2}(\theta)}} = \int{\frac{[1-2cos^{2}(\theta)+cos^{4}(\theta)] d\theta}{cos^{2}(\theta)}}\]

    \[= \int{\frac{d\theta}{cos^{2}(\theta)}} -2 \int{d\theta} + \int{cos^{2}(\theta) d\theta }\]

De aquí confiaré en tí para terminar la integral. Te diré que recuerdes que \frac{1}{cos^{2}(\theta)} = sec^{2}(\theta).

    \[\int{sec^{-2}(\theta)tan^{4}(\theta) d\theta} = tan(\theta) = \frac{-3\theta}{2} + tan(\theta) + \frac{sen(2\theta)}{4} + C\]

Los casos para las funciones csc(x), cot(x) son análogos a los mencionados.

 

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