Integral Definida (Parte 2) (Previsualizar)

Utilizaremos la interpretación de área bajo la curva para evaluar algunas integrales definidas.

Ejemplo 1: ¿Cuál es el valor de \mathlarger{\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} 3 dx} ?

area rectangulo
La integral \int_{0}^{2} 3 dx puede ser interpretada como el área bajo la curva y = 3 (o bien f(x) = 3), desde x = 0 hasta x = 2 (todo mostrado en la figura). Graficando f(x), encuentro que el área sombreada es un rectángulo de base 2 y altura 3. El área de este rectángulo es 2 \times 3 = 6. Ya que el área de la región sombreada (el rectángulo) es 6, entonces

    \[\int_{0}^{2} 3 \hspace{1mm} dx = 6\]

Ejemplo 2: ¿Cuál es el valor de \mathlarger{\int_{0}^{3} x \hspace{1mm} dx}?

En este caso la curva es y = f(x) = x (graficada abajo). Gráficamente, obtengo un triangulo de base 3 y altura 3. Mira que la altura la determiné evaluando la función en x = 3 (f(3) = 3).

 

area triangulo

Con eso puedo calcular el valor de la integral. El área del triangulo será \frac{1}{2} (base) (altura) = \frac{1}{2} (3)(3) = \frac{9}{2}. Puedo decir entonces que:

    \[\int_{0}^{3} x \hspace{1mm} dx = \frac{9}{2}\]

¡Listo!

Existe un teorema que nos permite relacionar la integral indefinida (antiderivada) a la integral definida. Este teorema nos permite evaluar una integral definida. No demostraré el teorema en este documento.

Teorema Fundamental del Cálculo: Si f es integrable en [a,b], y F es la antiderivada de f entonces}

    \[\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b)-F(a)\]

Antes de explicar el teorema, te diré que otra manera de escribir f(b) - f(a) es \mathlarger{f(x) \mathlarger{\mid_{a}^{b}}}.

    \[\int_{a}^{b} f(x) dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Para evaluar una integral definida lo que harás es encontrar la antiderivada F(x) de la función f(x) y la evaluarás en a y b como se muestra en el teorema.

Nota: Antes de resolver una integral definida, recomiendo que revises si la función es continua en el intervalo de integración. Por ejemplo,}

    \[\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}dx\]

¿Puedes ver que le pasa a la función en el intervalo [-1,1]? Los métodos para evaluar este tipo de integral serán discutidos más adelante.

Ejemplo 3: Resuelve el ejemplo 1 utilizando el teorema mencionado.

a.) Me aseguro que la función esté definida en el intervalo de integración. La función en este caso f(x) = 3 y está definida en el intervalo [0,2].

b.) Encontraré la antiderivada de la función f(x) = 3

    \[\int{3 \hspace{1mm} dx} = 3x + C\]

c.) Evalúo la antiderivada en cada límite de integración como lo señala el teorema.

    \[\int_{0}^{2} 3 dx\]

    \[\int_{0}^{2} 3 \hspace{1mm} dx = F(2)-F(0)\]

donde F(x) = 3x + C

    \[\int_{0}^{2} 3 \hspace{1mm} dx = F(2)-F(0) = [3(2) + C] - [3(0)+C] = 6 + C - C = 6\]

Nota: La constante de integración siempre se eliminará (como se muestra arriba) al momento de usar el teorema para evaluar una integral definida. Por eso, de ahora en adelante no la incluiré al momento de evaluar una integral definida.

Ejemplo 4: Resuelve el ejemplo 2 usando el teorema mencionado.

a.) Encuentro la antiderivada de la función.

    \[\int{x dx} = \frac{x^{2}}{2} + C\]

b.) Evalúo la integral.

    \[\int_{0}^{3} x dx = \frac{x^{2}}{2} \Big|_{0}^{3} = \frac{3^{2}}{2} + \frac{0^{2}}{2} = \frac{9}{2}\]

Ejemplo 5: Integra \mathlarger{\int_{3}^{5} (t^{2} + t -1) \hspace{1mm} dt}

Puedo separar la integral en varías integrales. Cada una tendrá los mismo límites de integración.

    \[\int_{3}^{5} (t^{2} + t -1) \hspace{1mm} dt = \int_{3}^{5} t^{2} dt + \int_{3}^{5} t dt - \int_{3}^{5} dt\]

Integrando,

    \[\int_{3}^{5} t^{2} dt + \int_{3}^{5} t dt - \int_{3}^{5} dt = \frac{t^{3}}{3} \Big|_{3}^{5} + \frac{t^{2}}{2} \Big|_{3}^{5} - t \Big|_{3}^{5} = \Big(\frac{5^{3}}{3}-\frac{3^{3}}{3} \Big) + \Big(\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2} \Big) - \Big(5 - 3 \Big)\]

entonces,

    \[\int_{3}^{5} (t^{2} + t -1) \hspace{1mm} dt = \frac{116}{3} \approx 38.7\]

Si gustas, puedes escribir la integral como

    \[\int_{3}^{5} (t^{2} + t +1) dt = [\frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{2}}{2} - t]\Big|_{3}^{5}\]

y luego evaluar.
¡Fin!

 

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