Integral Definida (Parte 1) (Previsualizar)

Anteriormente habíamos estudiado el concepto de antiderivada o integral indefinida. Habíamos mencionado que el símbolo para representar a la operación de antiderivada era “\int“, y este símbolo es una “S” alargada. ¿Por qué es una S alargada? ¿Para qué estudié antiderivadas?
Introduciré una nueva definición, un nuevo concepto. Estudiaremos la Integral Definida. Para no introducir un concepto muy abstracto, resolveremos un problema para introducir el concepto de manera más clara. Aproximaremos el área bajo una curva.

Mira la gráfica de abajo. Lo primero que haré es dividir el intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud \Delta x como se muestra (estoy asumiendo que todos los intervalos tienen la misma longitud). Ya que estoy dividiendo el intervalo [a,b] en n intervalos de igual longitud entonces,

    \[\Delta x = \frac{b-a}{n}\]

Llamaré a cada punto del eje x_1, x_2, ... x_i (lo que quiero decir es que i = 1, 2, 3 ...), por eso tiene sentido que también pueda escribir \Delta x = x_i - x_{i-1}. Ahora escogeré un punto que esté en la mitad del intervalo [x_{i-1},x_i] y le llamaré x_i^*.

integral definida1
Ahora, coloco un rectángulo como se muestra en la gráfica de abajo. Observa que la base del rectángulo es de longitud \Delta x (recuerda que todos los intervalos miden lo mismo) y la altura será la función evaluada en el punto medio (x_i^*) del intervalo, en otras palabras la altura es f(x_i^*).

integral definida2
El área A_i de ese rectángulo es

    \[A_i = f(x_i^*) \Delta x\]

Lo que haré ahora es colocar más rectángulos como se muestra abajo. Llenando el área bajo la curva de rectángulos, puedo aproximar el valor de dicha área.

integral definida3
Si el área bajo la curva f(x) es A y el área de cada rectángulo es A_i entonces

    \[A \approx A_1 + A_2 + A_3 +...+ A_n = f(x_1^*) \Delta x + f(x_2^*) \Delta x +... + f(x_n^*) \Delta x\]

Expresando esto con una sumatoria,

    \[A \approx \sum_{i = 1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\]

Esto es solo una aproximación, ¿Cómo encuentro el valor exacto? Mira (en las gráficas de abajo) que a medida aumento la cantidad de subintervalos la aproximación se vuelve más y más exacta. Sucede lo mismo si hago el intervalo \Delta x muy muy pequeño.

integral definida
integral definida5
Por eso el valor exacto del área será

    \[A = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\]

Definición: Si f se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite

    \[\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\]

existe, entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota

    \[\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_i^*) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx\]

Este límite es llamado integral definida, donde a es llamado límite inferior y b límite superior.

La Integral Definida es el límite de la sumatoria mostrada. El área bajo la curva f es una manera de interpretar este límite. Como dije anteriormente, esto es solo un problema a resolver. Este límite aparecerá en repetidas ocasiones, haciendo la integral definida una de las herramientas más importantes de ciencias físicas e ingenieriles (en aplicación).

 

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