Integral de Tangente a la n (Parte 1) (Previsualizar)

Aquí te mostraré como resolver integrales de la forma

    \[\int{tan^{n}(x) dx}\]

La idea es sacar un factor tan^{2}(x) y convertirlo en secante, usando la fórmula (2).

Ejemplo 5: Evalúa \mathlarger{\int{tan^{4}(x) dx}}

Separo un factor tan^{2}(x) junto con el dx.

    \[\int{tan^{2}(x) [tan^{2}(x) dx]}\]

Utilizo la fórmula (2) para transformar el término tan^{2}(x) (que separé junto con el dx) en sec^{2}(x).

    \[= \int{tan^{2}(x) (sec^{2}(x) - 1) dx} = \int{tan^{2}(x) sec^{2}(x)dx} - \int{tan^{2}(x) dx}\]

Para la primera integral utilizo la sustitución u = tan(x) \rightarrow du = sec^{2}(x) dx (la integración te la dejaré a ti). Transformaré el término tan^{2}(x) en la segunda integral a secante (es el mismo procedimiento).

    \[= \frac{tan^{3}(x)}{3} - \int{(sec^{2}(x) - 1) dx}\]

Ya puedes resolver esta integral para llegar a la respuesta

    \[\int{tan^{4}(x) dx} = \frac{tan^{3}(x)}{3} - tan(x) + x + C\]

 

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