Integral de Secante a la n (Parte 2) (Previsualizar)

Ejemplo 7}}: Evalúa \mathlarger{\int{sec^{6}(y) dy}}

Separo un factor sec^{2}(x) dx

    \[\int{sec^{4}(y) [sec^{2}(y)dy]}\]

Uso integración por partes donde dv = sec^{2}(y) dy \rightarrow v = tan(y) y u = sec^{4}(y) \rightarrow

du = 4 sec^{3}(y) sec(y) tan(y) dy = 4 sec^{4}(y)tan(y) dy. Usando la formula de integración por partes

    \[= sec^{4}(y)tan(y) - \int{tan(y) [4sec^{4}(y)tan(y)dy]}\]

    \[= sec^{4}(y)tan(y) - 4 \int{tan^{2}(y)sec^{4}(y) dy}\]

Lo mas simple será transformar tan^{2}(y) = sec^{2}(y) - 1

    \[= sec^{4}(y)tan(y) - 4\int{(sec^{2}(y)-1)sec^{4}(y) dy}\]

    \[= sec^{4}(y)tan(y) - 4 \int{(sec^{6}(y)-sec^{4}(y))dy}\]

    \[= sec^{4}(y)tan(y) - 4 \int{sec^{6}(y) dy} +4 \int{sec^{4}(y) dy}\]

Mira que si I = \int{sec^{6}(y) dy} entonces

    \[I = sec^{4}(y)tan(y) - 4I + 4\int{sec^{4}(y) dy}\]

Despeja I

    \[5I = sec^{4}(y)tan(y) + 4\int{sec^{4}(y) dy}\]

Por eso

    \[\int{sec^{6}(y)dy} = \frac{1}{5} sec^{4}(y) tan(y) + \frac{4}{5} \int{sec^{4}(y) dy}\]

Usando el ejemplo 1 para resolver la última integral

    \[\int{sec^{6}(y)dy} = \frac{1}{5} sec^{4}(y) tan(y) + \frac{4}{5} sec^{2}(y) tan(y) - \frac{8}{15}tan^{3}(y) + C\]

 

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