Integral de Secante a la n (Parte 1) (Previsualizar)

Trataré con integrales de la forma

    \[\int{sec^{n}(x) dx}\]

Para resolverlas, separaré un factor sec^{2}(x) y haré una integración por partes. Para la integración por partes usaré la sustitución dv = sec^{2}(x) dx \rightarrow v = tan(x), y la u será lo que quede.

Ejemplo 1: Evalúa \mathlarger{\int{sec^{4}(x) dx}}

Separo el factor sec^{2}(x)

    \[\int{sec^{2}(x) [sec^{2}(x) dx]}\]

Aplico integración por partes. Diré dv = sec^{2}(x) dx \rightarrow v = tan(x), recuerda que u será lo que quede por eso u = sec^{2}(x) \rightarrow du = 2 sec(x) sec(x)tan(x) dx = 2 sec^{2}(x) tan(x) dx. Usando la fórmula de integración por partes

    \[= sec^{2}(x)tan(x) - \int{tan(x) [2sec^{2}(x)tan(x) dx]}\]

    \[= sec^{2}(x) tan(x) - 2\int{sec^{2}(x)tan^{2}(x) dx}\]

Para la integral que quedó usa la sustitución t = tan(x) \rightarrow dt = sec^{2}(x) dx y resuelve. La solución

    \[\int{sec^{4}(x) dx} =sec^{2}(x)tan(x) - \frac{2}{3}tan^{3}(x) + C\]

 

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