Integral De Funciones Trigonométricas (Parte 3) (Previsualizar)

Algo que he mencionado muchas veces es que la derivada y la antiderivada son operaciones inversas. La antiderivada (o integral indefinida) deshace lo que la derivada hizo. Para resolver los ejemplos de esta sección necesitarás de las fórmulas ya vistas.

Ejemplo 1: Evalúa la integral \mathlarger{\int{sen(2x) dx}}

Esta integral es similar a

    \[\int{sen(x) dx} = -cos(x) + C\]

Lo único que cambia es el argumento de la función seno. En vez de ser x es 2x. Diré que la antiderivada de la función sen(2x) es F(x) = -cos(2x). Derivaré F(x) para ver si obtengo sen(2x).

    \[F'(x) = -2(-sen(2x)) = 2 sen(2x)\]

Estoy cerca… para obtener la respuesta que quiero diré \mathlarger{F(x) = \frac{-cos(2x)}{2}} (dividí entre un 2). Derivando F(x)

    \[F'(x) = \frac{-1}{2} (-2sen(2x)) = sen(2x)\]

Entonces

    \[\int{sen(2x) dx} = \frac{-cos(2x)}{2} + C\]

Recuerda que la C es para generalizar la antiderivada. Haré los siguientes ejemplos más directo.

 

Ejemplo 2: Evalúa la integral \mathlarger{\int{x cos(x^{2}) dx}}
Recuerda que

    \[\int{cos(x) dx} = sen(x) + C\]

Es razonable entonces pensar que la antiderivada de la función es F(x) = sen(x^{2}). Derivando F(x) (recuerda la regla de la cadena)

    \[F'(x) = cos(x^{2}) (x^{2})' = 2x cos(x^{2})\]

Casi… Si divido mi F(x) entre 2 , mi nueva F(x) será \mathlarger{F(x) = \frac{sen(x^{2})}{2}} Por eso,

    \[\int{xcos(x^{2}) dx} = \frac{sen(x^{2})}{2} + C\]

 

Ejemplo 3: Encuentra la antiderivada de f(x) = (12x-2) sec^{2}(3x^{2}-x+1)

De la integral

    \[\int{sec^{2}(x) dx} = tan(x) + C\]

Con eso puedo suponer que F(x) = tan(3x^{2}-x+1). Derivando

    \[F'(x) = sec^{2}(3x^{2}-x+1) (3x^{2}-x+1)' = (6x-1) sec^{2}(3x^{2}-x+1)\]

Mira que 12x-2 = 2(6x-1) lo que significa que a mi F(x) solamente le falta un 2. Mi nueva F(x) será entonces F(x) = 2tan(3x^{2}-x+1). Entonces

    \[\int{(12x-2) sec^{2}(3x^{2}-x+1) dx} = 2 tan(3x^{2}-x+1) + C\]

 

Ejemplo 4: Evalúa \mathlarger{\int{\frac{csc(\frac{1}{x})cot(\frac{1}{x}) dx}{x^{2}}}}

De la fórmula

    \[\int{csc(x)cot(x) dx} = - csc(x) + C\]

Puedo decir entonces F(x) = -csc(\frac{1}{x}) Derivando…

    \[F'(x) = -csc(\frac{1}{x})cot(\frac{1}{x}) [(\frac{1}{x})]' = -csc(\frac{1}{x})cot(\frac{1}{x}) [\frac{-1}{x^{2}}] = \frac{csc(\frac{1}{x})cot(\frac{1}{x})}{x^{2}}\]

Funcionó! Entonces,

    \[\int{\frac{csc(\frac{1}{x})cot(\frac{1}{x}) dx}{x^{2}}} = csc(\frac{1}{x}) + C\]

 

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