Integración por Sustitución Trigonométrica (Parte 5) (Previsualizar)

Nuestros últimos ejemplos!

Ejemplo 3: Evalúa la integral \mathlarger{\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} dx}

Anteriormente vi que usando las sustituciones

    \[x = sen(\theta) \rightarrow dx = cos(\theta) d\theta\]

encontraba que

    \[\int{\sqrt{1-x^{2}}\hspace{1mm} dx} = \frac{\theta}{2}+\frac{sen(2\theta)}{4} + C\]

    \[= \frac{1}{2} \hspace{1mm} [sen^{-1}(x) + x \sqrt{1-x^{2}}] + C\]

PRESTA ATENCIÓN A ESTO

Para evaluar la integral puedo simplemente evaluar la respuesta en los límites de integración. Pero ¿Qué sucede si la antiderivada es muy compleja y prefiero dejar todo en términos de \theta? En este caso, debo cambiar los límites de integración de manera que sean útiles para la variable \theta.

Si \theta = sen^{-1}(x) entonces para x = -1 \rightarrow \theta = -\frac{\pi}{2} (reemplacé en la ecuación de \theta = ...) y si x = 1 \rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}. Por eso, esta expresión es válida

    \[\int_{x = -1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} dx = \int_{\theta = -\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-x^{2}} dx\]

Con esos límites puedo evaluar la integral sin cambiar a x nuevamente.

    \[\int_{\theta = -\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-x^{2}} dx = \frac{\theta}{2}+\frac{sen(2\theta)}{4} \Big]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\]

    \[= \frac{\pi/2}{2} + \frac{sen(2(\pi/2))}{4} - \frac{-\pi/2}{4} - \frac{sen(2(-\pi/2))}{4}\]

    \[= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\]

¡Listo! Te había mencionado que este valor iba a representar la mitad del área de un círculo de radio 1… ¿Por qué? Esa explicación vendrá más adelante.

¡Hemos terminado con sustitución trigonométrica! Hurray!

 

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