Integración por Sustitución Trigonométrica (Parte 4) (Previsualizar)

Ya casi! Resiste un poco más… últimos ejemplos ¡No seré tan detallado ya!

Ejemplo 1: Resuelve \mathlarger{\int{\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}}}}

Escribiré las sustituciones.

    \[x = 3 sec(\theta) \rightarrow dx = 3 sec(\theta)tan(\theta) d\theta\]

    \[\sqrt{x^{2}-9} = 3 tan(\theta)\]

t7
Reemplazando todo esto en la integral,

    \[\int{\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}}} = \int{\frac{3 sec(\theta) tan(\theta) d\theta}{[9sec^{2}(\theta)][3tan(\theta)]}}\]

Simplificando,

    \[\int{\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}}} = \frac{1}{9} \int{\frac{d\theta}{sec(\theta)}} = \frac{1}{9} \int{cos(\theta) d\theta} = \frac{1}{9} sen(\theta) + C\]

Usando el triangulo, obtienes que \mathlarger{sen(\theta) = \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}}

La respuesta

    \[\int{\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}}} = \frac{1}{9} \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} + C\]

Ejemplo 2: Encuentra la solución a la integral \mathlarger{\int{\frac{z^{3} dz}{(2+z^{2})^{3/2}}}}

Mira que la integral la puedo escribir como

    \[\int{\Big[ \frac{z}{\sqrt{2+z^{2}}} \Big]^{3} dz}\]

Escribo las sustituciones que voy a hacer

    \[z = \sqrt{2} tan(\theta) \rightarrow dz = \sqrt{2} sec^{2}(\theta) d\theta\]

    \[\sqrt{2+z^{2}} = \sqrt{2} sec(\theta)\]

t8
Mira que \mathlarger{\frac{z}{\sqrt{z^{2}+2}} = sen(\theta)}. Entonces,

    \[\int{\Big[ \frac{z}{\sqrt{2+z^{2}}} \Big]^{3} dz} = \int{sen^{3}(\theta) [\sqrt{2} sec^{2}(\theta) d\theta]} = \sqrt{2} \int{sen(\theta)\Big[\frac{sen^{2}(\theta)}{cos^{2}(\theta)} \Big] d\theta}\]

    \[= \sqrt{2} \int{sen(\theta) tan^{2}(\theta) d\theta} = \sqrt{2} \int{sen(\theta) (sec^{2}(\theta)-1) d\theta}\]

Para lograr resolver esta integral escribire sec^{2}(\theta) como cos^{-2}(\theta).

    \[= \sqrt{2}\int{sen(\theta)cos^{-2}(\theta) d\theta} - \sqrt{2}\int{sen(\theta) d\theta}\]

Haciendo una sustitución simple en la primera integral [u=cos(\theta)], encuentro la respuesta a la integral en términos de \theta

    \[\int{\frac{z^{3} dz}{(2+z^{2})^{3/2}}} = \sqrt{2}[cos(\theta) + sec(\theta)] + C\]

Con el uso del triangulo veré que \mathlarger{cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{z^{2}+2}}} y que \mathlarger{sec(\theta) = \frac{\sqrt{z^{2}+2}}{\sqrt{2}}}. Entonces

    \[\int{\frac{z^{3} dz}{(2+z^{2})^{3/2}}} = \sqrt{2} \Big[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{z^{2}+2}} + \frac{\sqrt{z^{2}+2}}{\sqrt{2}} \Big] + C\]

 

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