Integración por Sustitución Trigonométrica (Parte 3) (Previsualizar)

Vamos con más ejemplos ahora:

Ejemplo 2: Encuentra la solución a la integral \mathlarger{\int{\frac{dx}{x \sqrt{16-9x^{2}}}}}

No puedo hacer sustitución simple. Usaré sustitución trigonométrica. Esta vez lo haré más rápido, sin tantos detalles.

Ordeno la raíz de tal manera que quede de la forma \sqrt{a^{2}-u^{2}}

    \[\sqrt{16 - 9x^{2}} = \sqrt{9 (\frac{16}{9} - x^{2})} = 3\sqrt{\frac{16}{9}-x^{2}} = 3 \sqrt{\Big( \frac{4}{3} \Big)^{2}-x^{2}}\]

En el segundo paso (donde saque el 9 multiplicando), mira que si lo vuelvo a multiplicar por todo adentro me queda igual que al principio, osea que es válido. Luego saqué este 9 de la raíz (sacando el 9 el resultado que queda afuera es 3).

PAUSA

Otro caso por ejemplo sería

    \[4+3x = 3 \Big(\frac{4}{3} + x \Big)\]

CONTINUO

Reescribo la integral

    \[\int{\frac{dx}{x \sqrt{16-9x^{2}}}} = \int{\frac{dx}{3x \sqrt{\Big( \frac{4}{3} \Big)^{2} - x^{2}}}} = \frac{1}{3} \int{\frac{dx}{x \sqrt{\Big( \frac{4}{3} \Big)^{2} - x^{2}}}}\]

Sin casi más detalles continuo con el problema (mira que a = \frac{4}{3}),

    \[x = \frac{4}{3} sen(\theta) \rightarrow dx = \frac{4}{3} cos(\theta) d\theta\]

    \[\sqrt{\Big( \frac{4}{3} \Big)^{2} - x^{2}} = \frac{4}{3} cos(\theta)\]

t6

Continuo

    \[\frac{1}{3} \int{\frac{dx}{x \sqrt{\Big( \frac{4}{3} \Big)^{2} - x^{2}}}} = \frac{1}{3} \int{\frac{\frac{4}{3} cos(\theta) d\theta}{[\frac{4}{3} sen(\theta)] [\frac{4}{3} cos(\theta)]}}\]

Simplificando

    \[= \frac{1}{4} \int{\frac{d\theta}{sen(\theta)}} = \frac{1}{4} \int{csc(\theta) d\theta} = \frac{1}{4} ln |csc(\theta) - cot(\theta)| + K\]

Con ayuda del triangulo encuentro que \mathlarger{csc(\theta) = \frac{4}{3x}} y que cot(\theta) =\mathlarger{ \frac{\sqrt{16-9x^{2}}}{3x}}. Cambiando de vuelta a la variable x, mi resultado será

    \[\int{\frac{dx}{x \sqrt{16-9x^{2}}}} = \frac{1}{4} \hspace{1mm} ln \Big| \frac{4-\sqrt{16-9x^{2}}}{3x} \Big| + K\]

i

 

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