Integración por Sustitución Trigonométrica (Parte 2) (Previsualizar)

¡Más ejemplos de sustitución trigonométrica!

Ejemplo 1: Encuentra la solución a la integral \mathlarger{\int{\frac{\sqrt{4+t^{2}}}{t} \hspace{1mm} dt}}

Me doy cuenta que no puedo hacer una sustitución simple por eso usaré Sustitución Trigonométrica. Para la raíz \sqrt{4+t^{2}} debo usar una sustitución de la forma t = 2 \hspace{1mm} tan(\theta) (mira el documento anterior o el resumen de fórmulas). Buscando el diferencial d\theta y la expresión de \sqrt{4+t^{2}}

    \[\sqrt{4+t^{2}} = \sqrt{4-(2tan(\theta))^{2}} = 2 \hspace{1mm} sec(\theta)\]

    \[t = 2 \hspace{1mm} tan(\theta) \rightarrow dt = 2 \hspace{1mm} sec^{2}(\theta) d\theta\]

Armando mi triangulo

    \[tan(\theta) = \frac{lado \hspace{1mm} opuesto \hspace{1mm} a \hspace{1mm} \theta}{lado \hspace{1mm} adyacente \hspace{1mm} a \hspace{1mm} \theta} = \frac{t}{2}\]

t5

El cociente \mathlarger{\frac{\sqrt{4+t^{2}}}{t}} representa a csc(\theta) (viendo el triangulo). Ahora reemplazare (finalmente) todo esto en la integral y la resolveré (no explicaré mucho)

    \[\int{\frac{\sqrt{4+t^{2}}}{t} \hspace{1mm} dt} = \int{[csc(\theta)] [2 \hspace{1mm} sec^{2}(\theta) d\theta]}\]

    \[= 2 \int{csc(\theta)sec^{2}(\theta) d\theta} = 2 \int{csc(\theta) (1+tan^{2}(\theta)) d\theta}\]

    \[= 2 \Big[ \int{csc(\theta) d\theta} + \int{csc(\theta) tan^{2}(\theta) d\theta} \Big]\]

Mira que \mathlarger{csc(\theta)tan^{2}(\theta) = \frac{1}{sen(\theta)} \frac{sen^{2}(\theta)}{cos^{2}(\theta)} = \frac{sen(\theta)}{cos^{2}(\theta)}}. Continuo…

    \[= 2 \Big[ \int{csc(\theta) d\theta} + \int{\frac{sen(\theta) d\theta}{cos^{2}(\theta)}}\Big]\]

Para la segunda integral puedes hacer una sustitución simple [u = cos(\theta)] y para la primera integral, usa la fórmula conocida. Con eso hecho llego al siguiente resultado

    \[\int{\frac{\sqrt{(4+t^{2}) }}{t} dt} = 2 [ln |csc(\theta) - cot(\theta)| + sec(\theta) ] + C\]

Viendo el triangulo me doy cuenta que \mathlarger{csc(\theta) = \frac{\sqrt{4+t^{2}}}{t}} , \mathlarger{cot(\theta) = \frac{2}{t}} y \mathlarger{sec(\theta) = \frac{\sqrt{4+t^{2}}}{2}}.

Reemplazando todo esto en la integral, finalmente logro encontrar su solución

    \[\int{\frac{\sqrt{4+t^{2} }}{t} dt} = 2 \hspace{1mm} ln \Big| \frac{\sqrt{4+t^{2}} - 2}{t} \Big| + \sqrt{4+t^{2}} + C\]

 

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