Integración por Sustitución Trigonométrica (Parte 1) (Previsualizar)

Recuerda que antes de aplicar cualquier método debes primero pensar en el método mas simple, debes pensar ¿Podré hacer una sustitución simple? Si no puedes, entonces debes acudir a cualquier otra técnica de integración.

Entraré en la técnica llamada Sustitución Trigonométrica. ¡Ojo! Esta técnica no debe ser confundida con la técnica usada para las integrales trigonométricas.

Aplicaré este técnicas para las integrales que tengan radicales de la forma

    \[(1) \hspace{1.5mm} \sqrt{a^{2}-u^{2}}\]

    \[(2) \hspace{1.5mm} \sqrt{a^{2}+u^{2}}\]

    \[(3) \hspace{1.5mm} \sqrt{u^{2}-a^{2}}\]

La idea es llevar lo que está dentro de los radicales a las identidades trigonométricas conocidas

    \[(I) \hspace{1mm} cos^{2}(\theta) = 1 - sen^{2}(\theta)\]

    \[(II) \hspace{1mm} 1 + tan^{2}(\theta) = sec^{2}(\theta)\]

    \[(III) \hspace{1mm} sec^{2}(\theta) - 1 = tan^{2}(\theta)\]

Observa que la ecuación (III) es la ecuación (II) despejada para tan^{2}(\theta). Si ves con cuidado, lo que está dentro del radical se parece a las ecuaciones (I),(II) y (III).

Reemplazaré la variable u por una función trigonométrica y transformaré la integral algebraica en una integral trigonométrica. Las sustituciones serán las siguientes

    \[(1.1) \hspace{1mm} u = a \hspace{1mm} sen(\theta)\]

    \[(2.1) \hspace{1mm} u = a \hspace{1mm} tan(\theta)\]

    \[(3.1) \hspace{1mm} u = a \hspace{1mm} sec(\theta)\]

Mira que las sustituciones tienen sentido lo que está dentro del radical con las ecuaciones (I), (II) y (III).

Explicación*

El objetivo de estas sustituciones es eliminar la raíz y reducir la integral a una forma que sea fácil de integral (no siempre..). Usaré la sustitución (1.1) en la expresión (1).

    \[u = a \hspace{1mm} sen(\theta)\]

    \[\sqrt{a^{2} - u^{2}} = \sqrt{a^{2} - (a sen(\theta))^{2}}\]

    \[= \sqrt{a^{2}-a^{2}sen^{2}(\theta) } = \sqrt{a^{2}(1-sen^{2}(\theta)}\]

Uso la identidad 1-sen^{2}(\theta) = cos^{2}(\theta) entonces

    \[\sqrt{a^{2}-u^{2}} = a \hspace{1mm} cos(\theta)\]

Haciendo un procedimiento similar (usando identidades trigonométricas) uso la sustitución (2.1) en la expresión (2) y la sustitución (3.1) en la expresión (3). Para no tener que hacer el procedimiento de arriba en cada integral que hagas, te escribiré la expresión de cada raíz después de la sustitución

    \[(1.2) \hspace{1mm} \sqrt{a^{2}-u^{2}} \rightarrow a \hspace{1mm} cos(\theta)\]

    \[(2.2) \hspace{1mm} \sqrt{a^{2}+u^{2}} \rightarrow a \hspace{1mm} sec(\theta)\]

    \[(3.2) \hspace{1mm} \sqrt{u^{2}-a^{2}} \rightarrow a \hspace{1mm} tan(\theta)\]

Confía en ti mismo, personalmente, recomiendo memorizar fórmulas…¡Ejemplos!

Ejemplo 1: Encuentra la solución a la integral \mathlarger{\int{\sqrt{1-x^{2}}\hspace{1mm} dx}}

Primero me fijo que no pueda hacer una sustitución simple (no puedo). Luego decido usar sustitución trigonométrica. Te explicaré paso a paso.

a.) Identifico que forma tiene para saber que sustitución usar. Para este caso, veo que la raíz tiene la forma (1). Por eso usaré la sustitución (1.1)

b.) Para este caso (refiriéndome a la sustitución) a = 1, por eso x = sen(\theta) (mira que en este caso es x no u..). Para poder integrar la variable \theta (es lo que busco) necesito un diferencial d\theta. Encontraré d\theta derivando ambos lados de la sustitución

    \[x = sen(\theta)\]

    \[dx = cos(\theta) d\theta\]

c.) Dibujaré un triangulo usando la descripción de la función trigonométrica en la sustitución. Despejo sen(\theta), por eso

    \[sen(\theta) = \frac{lado \hspace{1mm} opuesto \hspace{1mm} a \hspace{1mm} \theta}{hipotenusa} = \frac{x}{1}\]

t4

d.) Con las partes a,b,c establecidas puedo hacer la sustitución en la integral. Usando la expresión (1.2) la expresión \sqrt{1-x^{2}} quedará como cos(\theta). Recuerda sustituir dx por la expresión de la parte b.

    \[\int{\sqrt{1-x^{2}}dx} = \int{[cos(\theta)][cos(\theta) d\theta]}\]

    \[= \int{cos^{2}(\theta) \hspace{1mm} d\theta}\]

Usando la fórmula cos^{2}(\theta) = \mathlarger{\frac{1+cos(2\theta)}{2}}, puedo integrar (te dejo la integración, debes haber visto esta integral antes..)

    \[\int{cos^{2}(\theta) \hspace{1mm} d\theta} = \frac{\theta}{2}+\frac{sen(2\theta)}{4} + C\]

No puedo dejar la respuesta así, debo volver a la variable x. Para eso debo escribir \theta en términos de x y sen(2\theta) = 2sen(\theta)cos(\theta) en términos de x.

e.) Despejando \theta en la sustitución

    \[x = sen(\theta) \rightarrow \theta = sen^{-1}(x)\]

Usando el triangulo de la parte c, encuentro que

    \[cos(\theta) = \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{1} = \sqrt{1-x^{2}}\]

f.) Reemplaza todo en términos de x para finalizar.

    \[\int{\sqrt{1-x^{2}}dx} = \frac{\theta}{2} + \frac{2sen(\theta)cos(\theta)}{4} + C = \frac{sen^{-1}(x)}{2} +\frac{ x\sqrt{1-x^{2}}}{2} + C\]

    \[\int{\sqrt{1-x^{2}} \hspace{1mm} dx} = \frac{1}{2} \hspace{1mm} [sen^{-1}(x) + x \sqrt{1-x^{2}}] + C\]

Recuerda que x = sen(\theta) y \theta = sen^{-1}(x) (de la sustitución) y que cos(\theta) = \sqrt{1-x^{2}} del triangulo.

¡Listo! Te invito a evaluar la integral

    \[\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} dx\]

y darte cuenta que la misma representa la mitad del área de un círculo de radio 1.

 

Nuestros amigos de Tutorez te dan un super descuento si necesitas que alguien personalmente te ayude!

Volver a: Cálculo Integral > Técnicas de Integración
¿Qué quieres aprender?

buscar
Filter by Custom Post Type