Integración por Partes (Parte 4) (Previsualizar)

Ejemplo 5: Integra \mathlarger{\int{\frac{(6x^{2})ln[ln(2x^{3}+1)] \hspace{1mm} dx}{2x^{3}+1}}}

Este ejemplo puede parecer desagradable a la viste en una primera instancia, pero prometo que se reducirá a algo que te hará reír.

Antes de irte salvajemente a escoger una u y un dv, fíjate, SIEMPRE, si puedes hacer un cambio de variables antes de hacer la integración por partes.

Diré t = ln(2x^{3}+1) \rightarrow dt = \frac{6x^{2} \hspace{1mm} dx}{2x^{3}+1}. entonces te das cuenta que todo eso está dentro de la integral que te di, ¡tienes como reemplazar por dt! Al hacerlo, reduces la integral a esto:

    \[\int{\frac{(6x^{2})ln[ln(2x^{3}+1)] \hspace{1mm} dx}{2x^{3}+1}} = \int{ln(t) \hspace{1mm} dt}\]

Del ejemplo 3, sabes que

    \[\int{ln(t) \hspace{1mm} dt} = tln(t)-t + K\]

Regresando a la variable x encuentras la respuesta:

    \[\int{\frac{(6x^{2})ln[ln(2x^{3}+1)] \hspace{1mm} dx}{2x^{3}+1}} = [ln(2x^{3}+1] [ln(ln(2x^{3}+1))] - [ln(2x^{3}+1] + K\]

Moraleja de la historia: SIEMPRE REVISA SI PUEDES HACER UN CAMBIO DE VARIABLE ANTES DE USAR INTEGRACIÓN POR PARTES.

Ejemplo 6: Integra \mathlarger{\int{ \frac{x e^{x} \hspace{1mm} dx}{(x+1)^{2}} }}
Recuerda que con práctica podrás decidir cual debe ser u y cual debe ser dv. En este caso lo mejor será decir u = xe^{x} \rightarrow du = (xe^{x} + e^{x}) dx = e^{x}(x+1) dx (será útil factorizarlo así). Recuerda la derivada de un producto.

Diré entonces \mathlarger{dv = \frac{dx}{(x+1)^{2}} \rightarrow v = \frac{-1}{x+1}}
Aplicando la fórmula:

    \[\int{ \frac{x e^{x} \hspace{1mm} dx}{(x+1)^{2}}} = -\frac{xe^{x}}{x+1} - \int{\Big( \frac{-1}{x+1} \Big) [(x+1)e^{x}] dx}\]

    \[= -\frac{xe^{x}}{x+1} + \int{e^{x} dx}\]

De ahí llego a la respuesta:

    \[\mathlarger{\int{ \frac{x e^{x} \hspace{1mm} dx}{(x+1)^{2}} }} = -\frac{xe^{x}}{x+1} + e^{x} + K\]

 

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