Integración por Partes (Parte 3) (Previsualizar)

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Ejemplo 3: Integra \mathlarger{\int{ln(y) \hspace{1mm} dy}}

Es lógico decir u = ln(y) \rightarrow du = \frac{dy}{y} y decir dv = dy \rightarrow v = y. Ahora, aplicando la fórmula:

    \[\int{ln(y) \hspace{1mm} dy} = y ln(y) - \int{y \Big(\frac{dy}{y} \Big)} + C = y \hspace{1mm} ln(y) - \int{dy} + C\]

Integrando obtengo la respuesta:

    \[\int{ln(y) \hspace{1mm} dy} = y \hspace{1mm} ln(y) - y + C\]

Recuerda derivar tus respuestas para ver si obtienes lo que está dentro de la integral.

Ejemplo 4: Integra \mathlarger{\int{tan^{-1} (x) \hspace{1mm} dx}}

Diré u = tan^{-1}(x) \rightarrow du = \frac{dx}{x^{2}+1} (es tu única opción). Por eso, dv = dx \rightarrow v = x. Con todas las partes, uso la fórmula:

    \[\int{tan^{-1} (x) \hspace{1mm} dx} = x \hspace{1mm} tan^{-1}(x) - \int{(x) \Big( \frac{dx}{x^{2}+1} \Big) + K}\]

    \[= x \hspace{1mm} tan^{-1} (x) - \int{\frac{xdx}{x^{2}+1}} + K\]

La integral restante puede hacerse usando cambio de variables y encuentras que la solución es:

    \[\int{tan^{-1} (x) \hspace{1mm} dx} = x \hspace{1mm} tan^{-1}(x) - ln | \sqrt{x^{2}+1} | + K\]

 

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