Integración por Partes (Parte 2) (Previsualizar)

Ejemplo 2: Encuentra el valor del área bajo la curva f(x) = ln(x^{2}+1) (sombreada). Usa la gráfica de referencia.

PISTA: \frac{x^{2}}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1}
Ya que la función (viendo la gráfica) no tiene ninguna discontinuidad (o irregularidad) en el intervalo [2,6] (área sombreada), puedo decir que el área sombreada es igual a la siguiente integral:

    \[\int_{2}^{6} ln(x^{2}+1) \hspace{1mm} dx\]

ipartes1

Antes de evaluar esta integral, debo resolver la antiderivada. Para esto, usaré integración por partes. ¿Por qué? Si intentas una sustitución simple (cambio de variables) ó integración directa, no lograrás llegar a nada razonable.

Volveré a hacer paso por paso:

a.) Primero escogeré mi dv. Si digo dv = ln(x^{2}+1) dx será inútil, no se integrar ln(x^{2}+1). Por eso diré dv = dx solamente.

    \[dv = dx \rightarrow \int{dv} = \int{dx} \rightarrow v = x\]

b.) Ahora escogeré u. Diré u = ln(x^{2}+1), puedo derivar ln(x^{2}+ 1) sin problema.

    \[u = ln(x^{2}+1) \rightarrow du = \frac{2x \hspace{1mm} dx}{x^{2}+1}\]

c.) Ya tengo todas las partes de la fórmula, ahora la aplicaré.

    \[\int{u dv} = uv - \int{vdu}\]

    \[\rightarrow \int{ln(x^{2}+1) \hspace{1mm} dx} = [ln(x^{2}+1)][x] - \int{[x] \Big[ \frac{2x dx}{x^{2}+1}} \Big]\]

    \[= x \hspace{1mm} ln(x^{2}+1) - 2 \int{\frac{x^{2} dx}{x^{2}+1}}\]

Usando la pista al comienzo del problema:

    \[= x \hspace{1mm} ln(x^{2}+1) - 2 \Big[ \int{\Big( 1 - \frac{1}{x^{2}+1} \Big) dx} \Big]\]

Integrando esto, obtienes la respuesta:

    \[\int{ln(x^{2}+1) \hspace{1mm} dx} = x \hspace{1mm} ln(x^{2}+1) - 2x + 2 tan^{-1} (x) + C\]

d.) Ahora evaluó la integral de [2,6]

    \[\int_{2}^{6} ln(x^{2}+1) \hspace{1mm} dx = [xln(x^{2}+1)-2x+2tan^{-1}(x)] \mathlarger{\mid_{2}^{6}}\]

    \[= (6) ln (6^{2}+1) - 2(6) + 2(tan^{-1} (6)) - (2)ln(2^{2}+1) +2(2) - 2 (tan^{-1}(2))\]

Con ayuda de una calculadora… encuentras la respuesta:

    \[\int_{2}^{6} ln(x^{2}+1) \hspace{1mm} dx \approx 11.044\]

Listo.
En general,

    \[\int_{a}^{b} u \hspace{1mm} dv = uv \Big|_{a}^{b} -\int_{a}^{b} v \hspace{1mm} du\]

 

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