Integración por Partes (Parte 1) (Previsualizar)

El método de integración por partes es un método que te permite separar una integral (que tiene un producto de dos funciones) en una integral simple y lista para integrar (o solo más simple). Derivación de la fórmula de integración por partes:

Si u = u(x) y v = v(x) entonces la derivada del producto uv es

    \[\frac{d}{dx} (uv) = \frac{d u}{dx} v + \frac{d v}{dx}u\]

Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x

    \[\int{\frac{d}{dx} (uv) dx} = \int{\frac{du}{dx} v \hspace{2mm} dx} + \int {\frac{dv}{dx} u \hspace{2mm} dx}\]

    \[\int{d(uv)} = \int{v \hspace{2mm} du} + \int{u \hspace{2mm} dv}\]

Despejando

    \[\int{u \hspace{2mm} dv} = uv - \int{v \hspace{2mm} du}\]

    \[(\textbf{F ?}) \hspace{0.5cm} \int{u \hspace{2mm} dv} = uv - \int{v \hspace{2mm} du}\]

Al momento de usar este método tendrás una función y podrás escoger una función u y una función v (se puede decir que separas la función a integrar en dos \textbf{partes}). ¿Cuál debe ser u? ¿Cuál debe ser v? Es difícil responder esto, la respuesta más clara: depende del problema. La práctica te permitirá decidir cual será cual.

Explicaré los pasos del método con un ejemplo.

 

Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada de f(x) = x \hspace{1mm} ln(x)

En otras palabras me dice: “Integra esto \int{x ln(x) dx}“. Si intentaras hacer cambio de variable, te darás cuenta que no lograrás encontrar una sustitución directa (y posiblemente le darás muchas al problema).

Como este es el primer problema, explicaré cada paso. Primero debes tomar en cuenta que debes ver el problema como \int{x ln(x) dx} = \int{u dv}. Por eso debo escoger una u y un dv. La u será una función que vas a derivar y el dv será una función que vas a integrar. Por eso, es bueno pensar: \textbf{\textit{Mi dv debe ser una función fácil de integrar}} (No te preocupes tanto por u, debes poder derivar casi todo).

a.) ¿Cuál debe ser mi dv? Vuelve a leer lo que escribí arriba. Si escojo ln(x) como mi función a integrar, te quedarás al aire por qué no conoces ninguna integral directa para ln(x). Mejor diré dv = x dx, \textbf{el diferencial (en este caso dx) debe estar incluido en el diferencial dv}, si no ¿como vas a integrar? Necesitas un diferencial para integrar…

Ahora conseguiré v

    \[dv = x dx\]

Integrando a ambos lados [e ignorando la constante de integración]:

    \[\int{dv} = \int{x dx}\]

    \[v = \frac{x^{2}}{2}\]

Confía en mi con lo de la constante…

b.) Ahora lo único que queda es escoger u. Para este caso u = ln(x).

La u la derivas para obtener du:

    \[u = ln(x) \rightarrow du = \frac{dx}{x}\]

Justo como hacíamos en sustitución simple.

c.) Ya tenemos todas las partes necesarias para utilizar la fórmula; tenemos u = ln(x), du = \frac{dx}{x}, v = \frac{x^{2}}{2}, dv = x dx. Aplica la fórmula (1)

    \[\int{u \hspace{1mm} dv} = uv - \int{v \hspace{1mm} du}\]

    \[\rightarrow \int{x \hspace{1mm} ln(x) \hspace{1mm} dx} = (ln(x)) \Big(\frac{x^{2}}{2} \Big) - \int{ \Big( \frac{x^{2}}{2} \Big) \Big( \frac{dx}{x} \Big)} + C\]

Colocando la constante de integración ahí te liberará de usar otras constantes de integración en la última integral (confía en mí). Ahora al integrar la última integral encontrarás que la respuesta del problema es:

    \[\int{x \hspace{1mm} ln(x) \hspace{1mm} dx} = \frac{1}{2} [x^{2} \hspace{1mm} ln(x)] - \frac{x^{2}}{4} + C = \frac{x^{2}}{2} \Big[ln(x)-\frac{1}{2} \Big] + C\]

Verifica tu respuesta. Una vez tengas todas las partes de la fórmula, lo demás será carpintería.

 

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