Integración por Fracciones Parciales (Parte 1) (Previsualizar)

Hay ciertas integrales que no lucen muy bien al momento de trabajarlas. Muchas veces nos encontraremos con una rama de estas integrales, las integrales de funciones racionales. Una integral como esta tiene la forma

    \[(1) \int{\frac{p(x)}{q(x)} dx}\]

En donde p(x) y q(x) son polinomios. El método consiste en “partir” el cociente \frac{p(x)}{q(x)} en partes más pequeñas o más simples, de manera que (no siempre…) tenga fracciones que pueda integrar. Para lograr utilizar este método debes estar claro con la factorización de polinomios.

Ejemplo 1: Suma las siguientes fracciones \mathlarger{\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}}

Debes saber hacer esto antes de pasar al método de fracciones parciales. Recuerda que al momento de sumar expresiones algebraicas racionales, el denominador común (para este caso) será el producto de los denominadores de cada una de las fracciones. En otras palabras

    \[\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2} = \frac{?}{x(x+1)(x+2)}\]

El numerador estará compuesto por las letras A,B,C. Cada letra debe ir multiplicada por el denominador común excluyendo el denominador original de la letra. Osea, en el denominador irá A(x+1)(x+2) sin x por que la A originalmente tenía como denominador a x. Completo:

    \[\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2} = \frac{A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\]

Listo. Repito, debes saber como sumar estas fracciones al momento de hacer el método de fracciones parciales. Ahora si pasaré a un ejemplo más significativo.

Ejemplo 2: Separa la fracción \mathlarger{\frac{1}{x(x+1)(x+2)}} en varias fracciones.

Primero quiero que observes que la x en ninguno de los paréntesis esta elevada a un número mayor a 1. Cuando esto sucede, vas a dividir la fracción a fracciones de la forma:

    \[\textbf{(1)} \hspace{2.5mm} \frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}\]

Repito, eso es por que la variable x no esta elevada “a nada” en los paréntesis en el denominador de la fracción.

Ahora si sumo las fracciones, esta igualdad se verá así:

    \[\frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\]

Entonces, si eso es cierto, puedo decir que el numerador de la fracción a la izquierda del =, es igual al numerador a la derecha del =. Entonces escribo

    \[A(x+1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x+1) = 1\]

Con esta expresión puedo encontrar los valores de A,B,C (estas son mis incógnitas). Para hacer eso, le daré valores a la x para eliminar algunas incógnitas y que solo me quede 1. Comienzo…

\textbf{x = 0}

    \[A(0+1)(0+2) + B(0)(0+2) + C(0)(0+1) = 1\]

    \[2A = 1 \rightarrow A = \frac{1}{2}\]

\textbf{x = -1}

    \[A(-1+1)(-1+2) + B(-1)(-1+2) + C(-1)(-1+1) = 1\]

    \[- B = 1 \rightarrow B = -1\]

\textbf{x = -2}

    \[A(-2+1)(-2+2) + B(-2)(-2+2) + C(-2)(-2+1) = 1\]

    \[2C = 1 \rightarrow C = \frac{1}{2}\]

Entonces reemplazando estos coeficientes A,B,C en la ecuación (1), me doy cuenta que puedo escribir la fracción de la siguiente manera

    \[\hspace{2.5mm} \frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}\]

Esto es lo que buscas con el método, separar una fracción en partes más pequeñas o simples. Te mostraré otro ejemplo.

Ejemplo 3: Separa la siguiente fracción \mathlarger{\frac{x}{(x+2)(x+7)}}

Para saber la forma que va a tener la fracción separada \textbf{SOLAMENTE} debes fijarte en el denominador, no en el numerador. Nuevamente, la variable dentro de los paréntesis del denominador no esta elevada a números distintos de 1, por eso puedo darle a la fracción la siguiente forma

    \[\textbf{(2)} \hspace{2.5mm} \frac{x}{(x+2)(x+7)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+7}\]

Si sumo las fracciones

    \[\frac{x}{(x+2)(x+7)} = \frac{A(x+7) + B(x+2)}{(x+2)(x+7)}\]

Los numeradores deben ser iguales, entonces

    \[A(x+7) + B(x+2) = x\]

Escogeré valores para x que me eliminen una de las incógnitas (A o B). Como hay un término x del otro lado de la ecuación, también reemplazaré el valor que le de a la x ahí.

\textbf{x = -7}

    \[A(-7+7) + B(-7+2) = (-7)\]

    \[-5B = -7 \rightarrow B = \frac{7}{5}\]

\textbf{x = -2}

    \[A(-2+7) + B(-2+2) = (-2)\]

    \[5A = -2 \rightarrow A = \frac{-2}{5}\]

Reemplazando el valor de A,B en la ecuación (2), logro finalmente separar la fracción

    \[\frac{x^{3}}{(x+2)(x+7)} = \frac{-2}{5(x+2)} + \frac{7}{5(x+7)}\]

Problema Práctico 1: Separa la siguiente fracción: \mathlarger{\frac{2x+1}{(x-3)(x+4)}}

Usa el mismo procedimiento de los ejemplos.

La respuesta: \mathlarger{\frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-3}}

Problema Práctico 2: Separa la siguiente fracción: \mathlarger{\frac{2}{2x^{2}+3x+1}}

Factoriza el denominador antes de resolver.

La respuesta: \mathlarger{\frac{4}{2x+1} - \frac{2}{x+1}}

Ejemplo 4: Resuelve \mathlarger{\int_{1}^{2} \frac{dt}{t(t+1)(t+2)}}

Antes de evaluar la integral en los límites de integración, desarrollaré la antiderivada

    \[\int{\frac{dt}{t(t+1)(t+2)}}\]

Esta integral no es para nada simple. Con fracciones parciales, puedo separarla en fracciones que si son integrables fácilmente. Del ejemplo 2 se que puedo escribir esta integral como

    \[\int{\frac{dt}{t(t+1)(t+2)}} = \int{\Big[ \frac{1}{2t} - \frac{1}{t+1} + \frac{1}{2(t+2)} \Big] dt}\]

Integrando (sin procedimiento, lo dejo como ejercicio)

    \[\int{\frac{dt}{t(t+1)(t+2)}} = ln|\sqrt{t}| - ln|t+1| + ln|\sqrt{t+2}| + C\]

Usando las propiedades de logaritmos puedes arreglar la respuesta así

    \[\int{\frac{dt}{t(t+1)(t+2)}} = ln \Big|\frac{\sqrt{t(t+2)}}{t+1} \Big| + C\]

Evaluando la integral, encuentro la respuesta

    \[\int_{1}^{2} \frac{dt}{t(t+1)(t+2)} \approx 0.085\]

Problema Práctico 3: Demuestra \mathlarger{\int{\frac{(x^{2}+2x) dx}{(3x^{2}+2x)(x-1)}} = \frac{3}{5}ln|1-x| - \frac{4}{15} ln|3x+2| + C}

¿Qué sucede si en los factores lineales del denominador se repiten?. Esto lo explicaré en la siguiente clase.

 

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