Integración por Fracciones Parciales (Parte 3) (Previsualizar)

¿Como separo una fracción cuando el denominador tiene (dentro de un paréntesis) el término x^{2}?. Primero debes fijarte que no puedas factorizar la expresión. Por ejemplo la expresión x^{2}-1 no entra en este caso, por que la puedes escribir como (x+1)(x-1). Te mostraré algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Separa la fracción \mathlarger{\frac{x}{(x^{2}+2)(x^{2}+1)}}

Este tipo de fracciones puede separarse y quedar con la siguiente forma

    \[\frac{x}{(x^{2}+2)(x^{2}+1)} = \frac{Ax + B}{x^{2}+2} + \frac{Cx + D}{x^{2}+1}\]

Cada vez que tenga un denominador con x^{2} el numerador tendrá la forma Ax+B. Si sumo las fracciones, la expresión tendrá la forma

    \[\frac{x}{(x^{2}+2)(x^{2}+1)} = \frac{(Ax+B)(x^{2}+1) + (Cx+D)(x^{2}+2)}{x^{2}(x^{2}+1)}\]

Ahora, los numeradores deben ser iguales

    \[x = (Ax+B)(x^{2}+1) + (Cx+D)(x^{2}+2)\]

Para encontrar el valor de las incógnitas, deberé usar un procedimiento un poco diferente al método mostrado antes. Comenzaré expandiendo toda la expresión así

    \[x = Ax^{3}+Ax+Bx^{2}+B + Cx^{3} + 2Cx + Dx^{2} + 2D\]

Agruparé términos

    \[x = (A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+ (A+2C) x + (B + 2D )\]

La expresión A+C es el coeficiente de x^{3}. Pero como del lado izquierdo de la ecuación no tiene un término x^{3} entonces puedo decir que A+C = 0, para que se cumpla la igualdad. Del lado izquierdo tampoco hay un término x^{2} por eso B+D debe ser 0.

Como del lado izquierdo hay un término x (cuyo coeficiente es 1) puedo decir entonces que A + 2C = 1. Mira que la expresión B+2D representa las constantes (sin ninguna x) del lado derecho, pero al lado izquierdo no hay constantes por eso B+2D = 0. Las ecuaciones que tengo son entonces,

    \[A + C = 0\]

    \[B + D = 0\]

    \[A + 2C = 1\]

    \[B + 2D = 0\]

Resolviendo este sistema de ecuaciones encuentras entonces el valor de las constantes. Para este problema A = -1 , C = 1, B=0, D=0. Con estos coeficientes, sé que la fracción se puede separar de la siguiente manera

    \[\frac{x}{(x^{2}+2)(x^{2}+1)} = \frac{x}{x^{2}+1} - \frac{x}{x^{2}+1}\]

Ejemplo 2: Separa la fracción \mathlarger{\frac{x+2}{(x+1)(x^{2}+1)}}

Esta fracción es una combinación de los dos casos que te he mostrado. La fracción expandida será de la forma

    \[\frac{x+2}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}\]

Sumando las fracciones e igualando numeradores tendré la expresión

    \[A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1) = x + 2\]

Expandiendo el lado izquierdo de la ecuación

    \[Ax^{2} + A + Bx^{2} + Bx + Cx + C = x + 2\]

Agrupando

    \[[A + B] x^{2} + [B + C]x + [A+C] = x + 2\]

No hay x^{2} del lado derecho, por eso A+B = 0. Como hay un término x del lado derecho , B+C = 1. La expresión A+C es una constante, por ende A+C = 2. Mis ecuaciones son

    \[A + B = 0\]

    \[B + C = 1\]

    \[A + C = 2\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones encuentro que el valor de las incógnitas son A = \frac{1}{2} , B = -\frac{1}{2}, C = \frac{3}{2}. La expansión de la fracción será entonces

    \[\frac{x+2}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}}{x^{2}+1}\]

Arreglando un poco mas la expansión

    \[\frac{x+2}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{x-3}{2(x^{2}+1)}\]

Problema Práctica 1: Separa la fracción \mathlarger{\frac{2x-3}{(x^{2}-1)(x^{2}+3)}}

Respuesta: \mathlarger{\frac{3-2x}{4(x^{2}+3)} - \frac{1}{8(x-1)} + \frac{5}{8(x+1)}}

Ejemplo 3: Encuentra la solución a \mathlarger{\int{\frac{(2x^{3}-3x^{2}+2x-12)dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)}}}

Como un muy buen ejercicio, dejaré que demuestres que

    \[\frac{2x^{3}-3x^{2}+2x-12}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)} = \frac{2x}{x^{2}+4} - \frac{3}{x^{2}+1}\]

De todos modos, haré un documento exclusivo para la solución de ese ejercicio.

    \[\int{\frac{(2x^{3}-3x^{2}+2x-12) dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)}} = \int{\frac{2x dx}{x^{2}+4}} - \int{\frac{3 dx}{x^{2}+1}}\]

Ambas integrales deben ser integrales conocidas. Aplicando las fórmulas de capítulos anteriores o sustitución simple, fácilmente llego a la respuesta

    \[\int{\frac{(2x^{3}-3x^{2}+2x-12) dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)}} = ln|x^{2}+4| - 3 \hspace{1mm} tan^{-1}(x)\]

Antes de cerrar con este documento, quiero recordarte algunas cosas antes de resolver algo por el método de fracciones parciales.

REPASO (I y II)

1.) Cuando una de tus nuevas fracciones tenga un denominador de la forma (ax+b), entonces su numerador será simplemente una constante.

2.) Cuando una de tus nuevas fracciones tenga un denominador de la forma (ax^{2}+b) y que no se pueda factorizar, entonces su numerador tendrá la forma Ax+B

3.) No puedes aplicar lo de los puntos anteriores si tienes un denominador de la forma (ax+b)^{n}. Para esto necesitarás otro método.

4.) No apliques ninguno de los puntos anteriores si el numerador de tu fracción original (la que no está separada), tiene una variable que tenga mayor exponente a las variables del denominador. Ejemplos:

    \[\frac{x^{3}}{x^{2}+1} \hspace{2.5mm} \frac{x^{5}}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}\]

Si los exponentes del numerador tienen el mismo valor que los exponentes del denominador, entonces el método es aplicable.

 

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