Integración por Fracciones Parciales (Parte 2) (Previsualizar)

En los documentos anteriores mencioné que cuando teníamos un denominador de la forma (ax+b)^{n} o que el numerador fuera de “mayor exponente” que el denominador, no podíamos aplicar ninguno de los métodos mencionados, así que … ¿qué hacemos?

Ejemplo 1: Separar la fracción \mathlarger{\frac{1}{x(x+1)^{2}}}

La fracción separada, quedará de la forma

    \[\frac{1}{x(x+1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x+1)} + \frac{C}{(x+1)^{2}}\]

PAUSA

Si el denominador fuera (x+1)^{4} entonces la forma sería

    \[\frac{Constante1}{(x+1)} + \frac{Constante2}{(x+1)^{2}} + \frac{Constante3}{(x+1)^{3}} + \frac{Constante4}{(x+1)^{4}}\]

y así te vas. Esto es solo para cuando tengas una expresión (ax+b) elevada a algo (positivo). Si no pasa esto, sigues usando las reglas que te escribí en los otros documentos.

CONTINUO

Sumando las fracciones

    \[\frac{1}{x(x+1)^{2}} = \frac{A(x+1)^{2} + Bx(x+1) + Cx}{x(x+1)^{2}}\]

Ojo en como se suman estas fracciones… Como los denominadores son iguales, puedo decir que los numeradores son iguales

    \[A(x+1)^{2} + Bx(x+1) + Cx = 1\]

Para encontrar el valor de las incógnitas (A,B,C) puedes usar cualquier método descrito en los otros documentos. Expandiré el lado izquierdo de la ecuación

    \[A(x^{2}+2x+1) + B (x^{2}+x) + Cx = 1\]

    \[Ax^{2}+2Ax+A + Bx^{2} + Bx + Cx = 1\]

Agrupando

    \[[A+B] x^{2} + [2A+B+C]x + A = 1\]

Obtengo las siguientes ecuaciones

    \[A+B = 0\]

    \[2A + B + C = 0\]

    \[A = 1\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones encuentro el valor de cada incógnita, A = 1 , B = -1, C = -1. Separo la fracción

    \[\frac{1}{x(x+1)^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^{2}}\]

Listo. Este procedimiento siempre lo usarás cuando tengas un denominador de la forma mencionada.

Problema Práctico 1: Separa la fracción \mathlarger{\frac{2+x}{(x^{2}+1)(x+2)^{2}}}

La respuesta: \mathlarger{\frac{2-x}{5(x^{1}+1)} + \frac{1}{5(x+2)}}

Ejemplo 2: Encuentra la solución a la integral \mathlarger{\int{\frac{dx}{x(x+1)^{2}}}}

Con la respuesta del ejemplo 1 puedo separar la integral en varias integrales.

    \[\int{\frac{dx}{x(x+1)^{2}}} = \int{\frac{dx}{x}} - \int{\frac{dx}{x+1}} - \int{\frac{dx}{(x+1)^{2}}}\]

Integrando (confío en tí), llego a la respuesta

    \[\int{\frac{dx}{x(x+1)^{2}}} = ln|x| - ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + K\]

La integral queda muy sencilla cuando separas la fracción. De esto se trata el método.

¿Qué sucede si el exponente mas grande del numerador es mayor al exponente mas grande del denominador?

Ejemplo 3: Separa la fracción \mathlarger{\frac{x^{3}}{(x+1)(x+2)}}

Primero que todo, mira que el exponente mas grande de la x en el denominador es 2 [(x+1)(x+2) = x^{2}+3x+2] y el exponente más grande de la x en el numerador es 3. Ya que esto es así no puedo usar ninguno de los métodos mencionados anteriormente.

Para este caso haré una división sintética. Trabajaré la fracción con el denominador expandido.

    \[\frac{x^{3}}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^{3}}{x^{2}+3x+2}\]

Para lograr separar esto usaré división de polinomios… Te recordaré un poco de lo que es. Tendré esta expresión

    \[\frac{A(x)}{B(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{D(x)}\]

A(x) y B(x) son polinomios, en donde A(x) tiene “mayor exponente” que nuestro denominador B(x). Con la división de polinomios, buscaré escribir el polinomio de la forma mostrada a la derecha del igual.

PROCEDIMIENTO

Esta manera que te explicaré es la manera que personalmente uso, pero considero que es bastante clara. Primero escribiré la división que voy a hacer…

    \[x^{3} \div (x^{2}+3x+2) =\]

Piensa que estas dividiendo números, es el mismo procedimiento… La idea es bajar el orden del numerador. Lo que quiero es bajar de x^{3} a x^{2} o a simplemente x. Para hacerlo, debo eliminar ese x^{3}, por eso multiplicare x^{2}+3x+2 por x ,esta x irá a la derecha del igual y resultado de la multiplicación irá debajo de x^{3}.

div1

Multipliqué x^{2}+3x+2 por la x que está al lado derecho del igual, esto da x^{3}+3x^{2}+2x. El menos en frente es por el procedimiento de la división, te dije que lo hicieras al igual como si dividieras números. Ahora para cancelar el término -3x^{2} debo multiplicar x^{2}+3x+2 por -3… procedimiento

div2

Detengo la división ahí por que 7x+6 tiene menor exponente que x^{2}+3x+2. Para terminar el procedimiento señalo que lo que está a la derecha del igual es C(x) = x-3. Lo que sobra al final de la división es R(x) = 7x+6 y x^{2}+3x+2 es D(x). El denominador sigue siendo el mismo.

Si

    \[\frac{A(x)}{B(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{D(x)}\]

entonces para este caso,

    \[\frac{x^{3}}{x^{2}+3x+2} = (x-3) + \frac{7x+6}{x^{2}+3x+2}\]

La segunda fracción puedo escribirla como

    \[\frac{7x+6}{x^{2}+3x+2} = \frac{7x+6}{(x+1)(x+2)}\]

Usando los métodos conocidos para separar fracciones (te lo dejo a ti) veo que

    \[\frac{7x+6}{(x+1)(x+2)} = \frac{8}{x+2} - \frac{1}{x+1}\]

Para terminar…

    \[\frac{x^{3}}{x^{2}+3x+2} = (x-3) + \frac{8}{x+2} - \frac{1}{x+1}\]

Ejemplo 4: Resuelve \mathlarger{\int{\frac{x^{3} dx}{(x+1)(x+2)}}}

Con el resultado obtenido en el ejemplo 4 separo la integral en varias integrales

    \[\int{\frac{x^{3} dx}{(x+1)(x+2)}} = \int{x dx} -\int{3} + \int{\frac{8 dx}{x+2}} - \int{\frac{dx}{x+1}}\]

La solución

    \[\int{\frac{x^{3} dx}{(x+1)(x+2)}} = x^{2}-3 x+ 8 ln|x+2|- ln|x+1| + C\]

Problema Práctico 2: Separa la fracción \mathlarger{\frac{x^{3}+2x^{2}+3x+1}{x^{2}-x+1}}

La respuesta: \mathlarger{(x+3) + \frac{5x-2}{x^{2}-x+1}}

Mi consejo: PRACTICA DIVISIÓN DE POLINOMIOS y los demás métodos. Confía en que puedes hacerlo.

 

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