La Antiderivada: Definición y Propiedades (Previsualizar)

¿Qué es una antiderivada? La respuesta es muy simple. Una antiderivada es la operación inversa a la derivada. Pero ¿qué significa ser la operación inversa de la derivada? Significa que la antiderivada va a deshacer lo que la derivada se encargó de hacer. El método más básico para resolver una antiderivada es adivinar. Lo que harás es pensar en una posible respuesta, derivarla y ver si da! Las antiderivadas también son llamadas Integrales Indefinidas.

Pues… si es tan simple así significa que ya soy capaz de hacerlo. Lo intentaré. Quiero encontrar la antiderivada de 2x.

Objetivo: Encontrar la antiderivada de 2x
Me guiaré por lo que dije arriba. Necesito deshacer lo que una derivada hizo. Debo devolver la función f(x) = 2x a su forma antes de derivar. Sencillo! Si derivo F(x) = x^{2} obtengo 2x!

Lo primero que harás al momento de hacer una antiderivada es preguntarte ¿Qué función debo derivar para que me dé 2x? (2x para este caso).

Ahora si me fijo con cuidado me puedo dar cuenta que si derivo F(x) = x^2 + 1 también obtengo 2x… y si derivo F(x) = x^{2} + 3.55 también obtengo 2x. Cada vez que le sumo una constante a F(x) y derivo eso, sigo obteniendo 2x. Así que realmente la antiderivada de mi función f(x) = 2x es F(x) = x^{2} + C, donde C representa cualquier constante.

Eso no fue tan difícil. Lo intentaré de nuevo!

Objetivo: Encontrar la antiderivada de f(x) = 3x^{2}

Me hago la pregunta ¿Qué función debo derivar para obtener 3x^{2}? De ahora en adelante le llamaré a esa función F(x). ¿Puedo encontrar F(x) en este caso? ¡Claro que sí!

Si digo F(x) = x^{3} + C al momento de derivar encuentro que F'(x) = 3x^{2} y esto es igual a f(x).

Intentemos con una un poco más difícil.

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f(x) = x^{4}

¿Qué función debo derivar para que me de x^{4} Puedes pensar un poco y decir, si derivo F(x) = x^{5} + C entonces F'(x) = 5 x^{4}… ¡Casi! Estoy cerca! Tengo un 5 que no quiero ahí… Intentaré esto, diré que \mathlarger{F(x) = \frac{x^{5}}{5} + C}.

Si derivo \mathlarger{F(x) = \frac{x^{5}}{5} + C} entonces

    \[F'(x) = \frac{5x^{4}}{5} = x^{4} = f(x)\]

La función F(x) que encontré funciona. ¿Como sé que funciona? Al derivar F(x) obtengo f(x). En notación F'(x) = f(x). Haré una más!

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f(x) = 3x^{3}

¿Qué función debo derivar para que me de 3x^{3}? Intentaré usando \mathlarger{F(x) = \frac{3x^{4}}{4}} + C

    \[F'(x) = \frac{3(4)x^{3}}{4} = 3x^{3} = f(x)\]

Funciona. La F(x) que encontré es correcta. Es hora de formalizar un par de cosas. Debemos comenzar por encontrar una notación para la operación de la antiderivada. Otra!

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f(x) = x^{2/3}

¿Qué función debo derivar para obtener x^{2/3}? Esta es un poco más difícil que las demás… Intentaré \mathlarger{F(x) = x^{5/3}}. Elegí 5/3 por qué al derivar yo le resto 1 al exponente así que si estoy aplicando la operación inversa por que no sumarle 1

    \[F'(x) = \frac{5 x^{2/3}}{3}\]

Derivé mi F(x) pero no me dio lo que tenía que dar! Para quitarle el 5/3 que está al frente, multiplicaré eso por 3/5. Mi nueva F(x) será \mathlarger{\frac{3 x^{5/3}}{5}}.

    \[F'(x) = \frac{3}{5} \frac{5 x^{2/3}}{3} = x^{2/3}\]

Funciona! Uno más…

Objetivo: Encuentra la antiderivada de \mathlarger{f(x) = \frac{1}{x^{4}}}

Igual que cuando calculaba derivadas, escribiré \mathlarger{\frac{1}{x^{4}}} como x^{-4}. Veré si F(x) = x^{-3} funciona.

    \[F'(x) = -3(x^{-4})\]

Casi… intentaré con \mathlarger{F(x) = \frac{x^{-3}}{-3}}.

    \[F'(x) = -\frac{1}{3} (-3 x^{-4}) = x^{-4}\]

Si funciona! Para avanzar debo introducir la notación para la operación “antiderivar”.

Anteriormente utilizábamos la operación de la derivada y decíamos por ejemplo…

    \[derivar( x^{3} ) = 3x^{2}\]

Luego introdujimos esta notación

    \[\frac{d}{dx} (x^{3}) = 3x^{2}\]

¿Qué notación debería usar para la antiderivada? Como símbolo utilizo para expresar

    \[antiderivar( 3x^{2} ) = x^{3} + C\]

Para antiderivada usare la siguiente notación

    \[\int{3x^{2} dx} = x^{3} + C\]

Explicación de la simbología de la Antiderivada

Cuando usábamos la derivada teníamos dos notaciones:

    \[\frac{dy}{dx}\]

    \[y'\]

Donde \mathlarger{\frac{dy}{dx}} es la notación de Leibniz y y' es la notación de Newton.

Para la antiderivada usaremos esta notación

    \[\int{f(x) \hspace{1mm} dx} = F(x) + C\]

F(x) es la antiderivada de f(x); recuerda que eso significa qué al derivar F(x) obtienes f(x). La C es para hacer la antiderivada más general (pero necesaria).

El símbolo \int es una “S” alargada, la razón de eso lo verás más adelante. Lo que haré ahora será intentar encontrar un patrón en las antiderivadas que encontré anteriormente.

Cuando busco la antiderivada de x^{n} el resultado tiene exponente n+1 (le sumo 1 al exponente). Esto tiene sentido dado que

    \[\frac{d}{dx}(x^{n}) = n x^{n-1}\]

La derivada le quita 1 y la antiderivada le suma 1 (SON INVERSAS!). Al mirar nuevamente los ejemplos, veo que el número que tengo en el exponente en el resultado de la antiderivada aparece en el denominador.
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